Corps (mathématiques)/Exercices/Exemple de corps

Exemple de corps
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Exercices no1
Leçon : Corps (mathématiques)
Chapitre du cours : Définitions

Exercices de niveau 14.

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Exo suiv. :Sommaire
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Exercice 1

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Soit   un rationnel positif dont la racine carrée est irrationnelle. On note  .

  1. Vérifier que   contient  .
  2. Montrer que   est une loi de composition interne sur  .
  3. Montrer que   est une loi de composition interne sur  .
  4. Montrer que pour tout  , son inverse   appartient à  .
  5. En déduire que   est un corps.

Exercice 2

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Cet exercice généralise le précédent.

Soit   un corps commutatif. Pour  , on définit sur   deux lois de composition internes   et   par :

 
  1. Montrer que   est un anneau commutatif.
  2. Montrer que cet anneau est un corps si et seulement si   n'est pas un carré dans  .