Corps (mathématiques)/Définitions

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Corps

Rappelons qu'un anneau A est non nul si et seulement, dans cet anneau, $0\neq 1.$

Reprenons la définition d'un corps donnée dans la leçon Anneau (mathématiques)/Définitions.

Corps

Un corps $(K,+,\times )$ est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul admet un inverse (pour la loi multiplicative de l'anneau), c'est-à-dire que pour tout élément $x$ de $K\setminus \{0\}$, il existe un élément $x'$ de $K$ tel que $x'x=xx'$.

Un corps a donc toujours au moins deux éléments.

Puisque l'élément 0 d'un anneau est absorbant pour la multiplication et que $0\neq 1$, l'élément 0 n'a pas d'inverse. Toujours parce que l'élément 0 est absorbant, l'inverse d'un élément non nul est forcément non nul.

Un corps $(K,+,\times )$ est donc un ensemble muni de deux lois internes possédant les propriétés suivantes :

• $(K,+)$ est un groupe abélien, dont l'élément neutre est noté $0$ ;
• $(K\setminus \{0\},\times )$ est un groupe abélien (son neutre est noté $1$) ;
• $\times$ est distributive par rapport à $+$.

Corps commutatif

Un corps commutatif $(K,+,\times )$ est un corps qui est commutatif en tant qu'anneau, c'est-à-dire que sa loi multiplicative est commutative.

Un corps (commutatif) $(K,+,\times )$ est donc un ensemble muni de deux lois internes possédant les propriétés suivantes :

• $(K,+)$ est un groupe abélien, dont l'élément neutre est noté $0$ ;
• $(K\setminus \{0\},\times )$ est également un groupe abélien (son neutre est noté $1$) ;
• $\times$ est distributive par rapport à $+$.

Pour certains auteurs, un corps est nécessairement commutatif. Pour désigner un corps non forcément commutatif, ils disent corps gauche ou anneau à division. On adopte ici la terminologie de Bourbaki et de S. Lang.

L'exemple le plus célèbre de corps non commutatif est celui des quaternions.

Début de l'exemple

Exemples

Les ensembles de nombres suivants sont des corps, lorsqu'on les munit de leurs opérations usuelles + et × :

• les rationnels $\mathbb {Q}$ ;
• les réels $\mathbb {R}$ ;
• les nombres complexes $\mathbb {C}$.

Fin de l'exemple

Morphisme

Un morphisme d'anneaux d’un corps dans un anneau est nécessairement injectif. Un morphisme d'anneaux envoie en effet tout élément inversible sur un élément inversible, donc non nul. Par la deuxième propriété, tout élément non nul d’un corps est inversible, donc envoyé sur un élément non nul.

Sous-corps

Proposition

Soient $K$ un corps et $P$ une partie de $K$. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. P est une partie stable (pour + et $\times$) de $K$ et $P$ muni des lois induites par celles de $K$ est lui-même un corps ;
2. $P$ est un sous-anneau de $K$ et $(x\in P^{*}=P\setminus \{0\}\Rightarrow x^{-1}\in P^{*})$
3. $P$ est un sous-groupe de $(K,+)$ et $P^{*}=P\setminus \{0\}$ muni de la loi $\times$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $(K^{*},\times )$.

Démonstration

Début d'un lemme

Lemme

Soit $(G,\star )$ un groupe et $P$ une partie non vide de $G$ stable pour $\star$. Si $(P,\star )$ est un groupe alors c’est un sous-groupe de $G$.

Fin du lemme

Démonstration

Puisque $P$ est un groupe alors il admet un élément neutre noté $e_{P}$. On a évidemment $e_{P}\star e_{P}=e_{P}$. Puisque $e_{P}$ est un élément de $G$, il est inversible dans $G$ d'inverse $e_{P}^{-1}$.

On peut donc écrire $e_{P}^{-1}\star (e_{P}\star e_{P})=e_{P}^{-1}\star e_{P}$.

Par associativité de $\star$, on a $(e_{P}^{-1}\star e_{P})\star e_{P}=e_{P}^{-1}\star e_{P}$ soit $e_{G}\star e_{P}=e_{G}$ d'où $e_{P}=e_{G}$

$P$ est un groupe donc tout élément $x\in P$ admet un inverse $y$ tel que $x\star y=y\star x=e_{P}=e_{G}$, donc $y$ est l"inverse de $x$ dans $G$, or cet inverse est unique donc $x^{-1}\in P$

Pour conclure $P\subset G$, l'élément neutre de $G$ appartient à $P$ et l’inverse de tout élément de $P$ est dans $P$, donc $P$ est bien un sous-groupe de $G$.

 

Démontrons enfin la proposition.

$(1\Rightarrow 2)$ On sait que $P^{*}=P\setminus \{0\}$ est une partie non vide de $K^{*}=K\setminus \{0\}$, stable pour $\times$. De plus $\times$ est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque $P$ est un corps donc $(P^{*},\times )$ est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de $(K^{*},\times )$ et donc $1\in P$ et $x\in P\Rightarrow x^{-1}\in P$.

De même $P$ est une partie non vide de $K$, stable pour $+$. De plus $+$ est associative, admet un élément neutre et tout élément à un inverse puisque $P$ est un corps donc $(P,+)$ est un groupe donc d’après le lemme précédent, il s'agit d’un sous-groupe de $(K,+)$ et donc $0\in P$ et $x\in P\Rightarrow -x\in P$.

Ainsi $P$ est stable pour les lois $+$ et $\times$, contient $0$ et $1$ et est stable par passage au symétrique, donc $(P,+,\times )$ est un sous-anneau de $(K,+,\times )$

$(2\Rightarrow 3)$ $P$ est un sous-anneau de $K$ donc $P$ est un sous-groupe additif de $K$.

Puisque $P$ est un sous-anneau de $K$, $\times$ est une loi de composition interne, associative admettant $1_{K}$ comme élément neutre, de plus si $x\in P^{*}$ alors $x^{-1}\in P^{*}$ donc $(P^{*},\times )$ est un sous-groupe de $(K^{*},\times )$.

$(3\Rightarrow 1)$ $(P,+)$ étant un sous-groupe il est donc non vide de plus $+$ est une loi de composition interne donc $P$ est stable pour $+$.

De même $(P^{*},\times )$ étant un sous-groupe $\times$ est une loi de composition interne, donc si $x,y\in P^{*}$ alors $x\times y\in P$. De même si $x\in P^{*}$ alors $0_{P}\times x=x\times 0_{P}=0_{P}\in P$ donc $P$ est stable pour $\times$.

Puisque $+$ et $\times$ sont des lois de groupes, elles sont associatives, ont des éléments neutres et à tout élément correspond un symétrique pour chacune des lois.

Puisque $(K,+)$ est abélien, la loi $+$ est commutative. Et puisque $K$ est un corps commutatif, $(K^{*},\times )$ est aussi abélien donc la loi $\times$ est commutative.

Puisque $K$ est un corps, la loi $\times$ est distributive par rapport à l'addition ce qui reste vrai dans $P$.

$(P^{*},\times )$ étant un sous-groupe d'élément neutre $1_{K}\neq 0_{K}$, $P$ est non nul.

Donc $P$ est un corps.

 

Définition

Toute partie $P$ d’un corps $K$ vérifiant les conditions de la proposition précédente est appelé sous-corps de $K$.

Début de l'exemple

Exemple

$\mathbb {Q}$ est un sous-corps de $\mathbb {R}$, $\mathbb {R}$ est un sous-corps de $\mathbb {C}$.

Fin de l'exemple

Propriété

Soit $K$ un corps. Toute intersection de sous-corps de $K$ est un sous-corps de $K$.

Démonstration

Soit $P=\cap _{i\in I}P_{i}$ où les $P_{i}$ sont des sous-corps de $K$.

Chaque $(P_{i},+)$ est donc un sous-groupe de $(K,+)$ et chaque $(P_{I}^{*},\times )$ est un sous-groupe de $(K^{*},\times )$.

Or l'intersection de sous-groupes est un sous-groupe donc $(P,+)=\cap _{i\in I}(P_{i},+)$ est un sous-groupe de $(K,+)$ et $(P^{*},\times )=\cap _{i\in I}(P_{i}^{*},\times )$ est un sous-groupe de $(K^{*},\times )$.

Donc d’après la proposition précédente $P$ est un sous-corps de $K$.

 

Proposition

Soit $K$ un corps. Soit $P$ une partie de $K$. L'ensemble $E$ des sous-corps de $K$ qui contiennent $P$ est non vide, et possède, au sens de l'inclusion, un plus petit élément.

Démonstration

$E$ est non vide car il contient $K$. Posons alors $k=\cap _{P'\in E}P'$. Donc $k$ est inclus dans tout sous-corps de $K$ contenant $P$.

$\forall P'\in E:P\subset P'$ donc $P\subset k$.

D'après la propriété précédente $k$ est un sous-corps.

 

Définition

Le plus petit sous-corps d’un corps $K$ contenant la partie $P$ est appelée sous-corps de $K$ engendré par $P$.

Corps des fractions

Propriété

Soit $(A,+,\times )$ un anneau (commutatif) intègre.

Soit $E=A\times A\setminus \{0\}$. On munit $E$ :

• d’une loi interne $+$ définie par : $\forall (a,b),(c,d)\in E:(a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)$ ;
• d’une loi interne $\times$ définie par : $\forall (a,b),(c,d)\in E:(a,b)\times (c,d)=(ac,bd)$ ;
• d’une relation d'équivalence ${\mathcal {R}}$ définie par : $\forall (a,b),(c,d)\in E:(a,b){\mathcal {R}}(c,d)\Leftrightarrow ad=bc$

Alors $E/{\mathcal {R}}$ muni des deux lois induites est un corps.

Démonstration

• Montrons que ${\mathcal {R}}$ est bien une relation d'équivalence.

  ${\mathcal {R}}$ est bien symétrique.

  ${\mathcal {R}}$ est évidement réflexive.

  ${\mathcal {R}}$ est transitive. En effet soit $(a,b){\mathcal {R}}(c,d)$ et $(c,d){\mathcal {R}}(g,h)$. On a donc $ad=bc$ et $ch=dg$. Calculons $ahd=adh=bch=bdg=bgd$ en utilisant la commutativité et l'associativité dans $A$ de la multiplication.. Enfin $d$ étant non nul on a $ah=bg$. En effet, puisque $ahd=bgd$ alors $ahd-bgd=0$, soit $(ah-bg)d=0$ par distributivité, et puisque l'anneau est intègre et que $d\neq 0$ alors $ah-dg=0$ et donc $ah=bg$.

• Comme $A$ est intègre, $\forall b,d\in A^{*}:bd\neq 0$, les deux lois sont donc bien internes.
• Montrons que les deux lois sont bien commutatives, associatives et possèdent un élément neutre.

  On a $(a,b)+(c,d)=(ad+cb,bd)=(cb+ad,db)=(c,d)+(a,b)$ puisque $(A,+,\times )$ est un anneau commutatif.

  De même $(a,b)\times (c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)\times (a,b)$.

  L'associativité de $\times$ sur $E$ découle de l'associativité de $\times$ sur $A$.

  Soit $(g,h)\in E$. On a $((a,b)+(c,d))+(g,h)=(ad+cb,bd)+(g,h)=((ad+cb)h+gbd,bdh)=(adh+cbh+gbd,bdh)=(adh+chb+gdb,bdh)=(adh+(ch+gd)b,bdh)=(a,b)+(ch+gd,dh)=(a,b)+((c,d)+(g,h))$ du fait de l'associativité, commutativité et distributivité des deux opérations sur $A$.

  On a $(a,b)+(0,1)=(a\times 1+0\times b,b\times 1)=(a,b)$ donc $(0,1)\in E$ est élément neutre pour l’addition sur $E$.

  De même $(a,b)(1,1)=(a\times 1,b\times 1)=(a,b)$ donc $(1,1)$ est élément neutre pour la multiplication sur $E$.

• Montrons que ${\mathcal {R}}$ est compatible avec l'addition.

  Soit $(a,b){\mathcal {R}}(c,d)$ et $(a',b'){\mathcal {R}}(c',d')$, on a donc $ad=bc,a'd'=b'c'$. De plus $(a,b)+(a',b')=(ab'+a'b,bb')$ et $(c,d)+(c',d')=(cd'+c'd,dd')$.

  Enfin, $(ab'+a'b)dd'=ab'dd'+a'bdd'=adb'd'+a'd'bd=bcb'd'+b'c'bd=bb'cd'+bb'c'd=bb'(cd'+c'd)$ donc $(a,b)+(a',b'){\mathcal {R}}(c,d)+(c',d')$.

• Montrons que ${\mathcal {R}}$ est compatible avec la multiplication.

  On a $(a,b)\times (a',b')=(aa',bb')$ et $(c,d)\times (c',d')=(cc',dd')$.

  D'où $aa'dd'=ada'd'=bcb'c'=bb'cc'$ et donc $(a,b)\times (a',b'){\mathcal {R}}(c,d)\times (c',d')$.

• On a donc muni $E/{\mathcal {R}}$ de deux lois internes, commutatives, associatives et possédant un élément neutre.
• Pour affirmer que $(E/{\mathcal {R}},+,\times )$ est un anneau commutatif, il reste à montrer que la deuxième loi est distributive par rapport à la première.

  Soit ${\overline {(a,b)}},{\overline {(c,d)}},{\overline {(g,h)}}$ trois classes de $E/{\mathcal {R}}$.

  On a $(a,b)\times ((c,d)+(g,h))=(a,b)\times (ch+gd,dh)=(a(ch+gd),bdh)=(ach+agd,bdh)$.

  De même $(a,b)\times (c,d)+(a,b)\times (g,h)=(ac,bd)+(ag,bh)=(acbh+agbd,bdbh)$.

  Or $(ach+agd)bdbh=achbdbh+agdbdbh=acbhbdh+agbdbdh=(acbh+agbd)bdh$ donc ${\overline {(a,b)\times ((c,d)+(g,h))}}={\overline {(a,b)\times (c,d)+(a,b)\times (g,h)}}$.

• Enfin, cet anneau est un corps car si ${\overline {(a,b)}}\neq {\overline {(0,1)}}$, c'est-à-dire si $a\neq 0$, alors $(b,a)\in E$ et ${\overline {(a,b)}}\times {\overline {(b,a)}}={\overline {(ab,ba)}}={\overline {(1,1)}}$.

 

Définition

Le corps ainsi défini est appelé corps des fractions de $A$ et noté $Fr(A)$ ou $K(A)$.

Un élément $\left[(a,b)\right]_{\mathcal {R}}\in Fr(A)$ est noté ${\dfrac {a}{b}}$.

Début de l'exemple

Exemple

$\mathbb {Q}$ est le corps des fractions de $\mathbb {Z}$.

Fin de l'exemple

Propriété universelle

• L'application $i:A\to Fr(A),\ a\mapsto {\frac {a}{1}}$ est un morphisme injectif d'anneaux, qui permet d'identifier canoniquement $A$ à un sous-anneau de $Fr(A)$.
• Le sous-corps de $Fr(A)$ engendré par ce sous-anneau est $Fr(A)$ tout entier.
• $Fr(A)$ est donc le « plus petit corps contenant $A$ », c'est-à-dire que pour tout corps $L$ et tout morphisme injectif d'anneaux $f:A\to L$, il existe un unique morphisme de corps ${\tilde {f}}:Fr(A)\to L$ tel que $f={\tilde {f}}\circ i$.

Caractéristique

Début d'un lemme

Lemme

Soit $A$ un anneau. L'application $\phi :n\mapsto n.1_{A}$ est l'unique morphisme d'anneaux de $\mathbb {Z}$ dans $A$.

Fin du lemme

Démonstration

$\phi$ est clairement un morphisme d'anneaux. Il est unique car on doit avoir $\phi (1)=1_{A}$ et tout morphisme de groupes de $(\mathbb {Z} ,+)$ dans $(A,+)$ est entièrement déterminé par l'image du générateur $1$.

 

Début d’un théorème

Théorème

Pour un anneau intègre $A$ (en particulier pour un corps), l'unique morphisme d'anneaux $\phi :\mathbb {Z} \to A$ est :

• ou bien injectif ; dans ce cas $A$ est dit de caractéristique nulle. L'injection $\phi$ se prolonge en un morphisme de corps $\mathbb {Q} \to Fr(A)$ ;
• ou bien de noyau $p\mathbb {Z}$ avec $p$ premier ; dans ce cas, $A$ est dit de caractéristique p. L'application $\phi$ induit une injection $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to A$.

Fin du théorème

Démonstration

Le noyau de $\phi$ est un idéal de $\mathbb {Z}$ donc de la forme $n\mathbb {Z}$ pour un certain $n\in \mathbb {N}$. L'isomorphisme de $\mathbb {Z} /\operatorname {Ker} \phi$ sur $\operatorname {Im} \phi$ canoniquement induit par $\phi$ est un plongement de $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ dans $A$.

• Si $n=0$ alors le morphisme $i\circ \phi :\mathbb {Z} \to Fr(A)$ est injectif donc s'étend à $\mathbb {Q}$, par propriété universelle de $Fr(\mathbb {Z} )=\mathbb {Q}$.
• Si $n>0$ alors $n$ est premier car $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ est intègre (comme sous-anneau de $A$).

 

Début de l'exemple

Exemple

• $\mathbb {C}$ et ses sous-corps sont de caractéristique nulle.
• $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ est un corps de caractéristique $p$.

Fin de l'exemple