Dérivation/Développement limité d'ordre 1

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Nous allons étudier dans ce chapitre le développement limité d'une fonction en un point de son domaine de dérivabilité.

Développement limité d'ordre 1
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Chapitre no 5
Leçon : Dérivation
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Définition

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Soit   une fonction dérivable en un réel   de son domaine de définition. Soit   son nombre dérivé en  . On définit alors une fonction  , dont la variable sera notée  , par :

 .

Nous voyons immédiatement que :

 .

D'autre part, nous voyons que :

 

Par définition, nous dirons que   est le développement limité d'ordre 1 de la fonction   en  .


Nous poserons alors la définition suivante :

Toute fonction dérivable en un point   admet donc un développement limité d'ordre 1 en  .

Visualisation graphique

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De façon à mieux visualiser ce qu'est un développement limité d'ordre 1, nous allons étudier le graphique représenté à droite. Sur ce graphique, nous avons représenté une portion de courbe représentative d'une fonction et au point   d'abscisse   nous avons tracé la tangente à la courbe. Nous avons ensuite représenté une verticale coupant l'axe des abscisses en un point   d'abscisse  . Cette verticale recoupe la tangente et la courbe respectivement en   et en  . Nous avons ensuite représenté trois horizontales passant respectivement par  ,   et  , l'horizontale passant par   recoupe la verticale en  .

Nous pouvons alors écrire :

 .

Sur le schéma, nous voyons immédiatement que :

  et  .

Pour le calcul  , nous pouvons considérer le triangle   rectangle en  . Nous savons que le coefficient directeur d'une droite est la tangente de l'angle entre cette droite et l'horizontale. Nous avons donc :

 .

Nous savons aussi que le coefficient directeur est donné par  , le nombre dérivé de la fonction en   ; nous obtenons donc :

 ,

ce qui nous donne :

 .

En reportant tout ce que nous avons trouvé dans :

 ,

nous obtenons :

 

et là, une simple comparaison avec la formule :

 

nous montre que :

 .

Nous avons représenté toutes les valeurs que nous avons calculées sur le dessin.

Approximation affine

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Soit   une fonction dérivable en  . Nous avons vu que cette fonction admet un développement en   et nous pouvons écrire :

  avec  

Si nous regardons de plus près ce développement, nous voyons que nous pouvons le considérer comme une fonction d'une variable   pouvant s'écrire comme somme de deux fonctions :

  • d'une part, nous avons la fonction   qui est une fonction affine ;
  • d'autre part, nous avons la fonction   qui représente l'écart entre la fonction   et la fonction  .

Cela signifie que si l'on remplace la fonction   par la fonction  , on commet une erreur donnée par une fonction   définie pour tout   par :

 .

Ce qui est remarquable dans cette erreur, c'est quelle s'exprime comme une valeur absolue du produit de deux fonctions qui tendent vers   lorsque   tend vers  . Nous pouvons alors penser que pour   suffisamment proche de   l'erreur sera très faible.

On dira donc que l'on fait une approximation affine de la fonction   lorsque l'on substituera à celle-ci la fonction  .

Exemple d'approximations affines

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Premier exemple

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Soit la fonction   définie par  . Sa fonction dérivée étant définie par  , son développement limité en   sera alors :

  avec  .

Pour   suffisamment petit, nous aurons alors  .

En particulier, si   et  , on obtient la formule :

  si   proche de  ,

formule qui était bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Deuxième exemple

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Soit la fonction   définie par  . Sa fonction dérivée étant définie par  , son développement limité en   sera alors :

  avec  .

Pour   suffisamment petit, nous aurons alors  .

En particulier, si l'on pose   et  , on obtient la formule :

  si   proche de  ,

formule qui était aussi bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Troixième exemple

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Soit la fonction   définie par  . Sa fonction dérivée étant définie par  , son développement limité en   sera alors :

  avec  .

Pour   suffisamment petit, nous aurons alors  .

En particulier, si l'on pose   et  , on obtient la formule :

  si   proche de  ,

formule qui était, elle aussi, bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Différentiabilité

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Nous poserons la définition suivante :


Nous avons la propriété suivante :


 

Question : Puisqu'une fonction numérique est différentiable en   si et seulement si elle est dérivable en  , quel intérêt y a-t-il à introduire deux notions au lieu de se contenter d'une seule ?

Réponse : La dérivabilité nous permet de définir aisément la fonction dérivée, mais présente un inconvénient : elle fait intervenir le quotient  . Or le quotient de deux éléments n'est pas défini dans tous les ensembles ; on ne définit pas, par exemple, le quotient de deux vecteurs. La notion de dérivabilité n'est donc pas généralisable aux fonctions vectorielles.

Par contre, la définition de la différentiabilité ne fait apparaître aucun quotient et nous verrons dans des leçons de niveau plus élevé (voir par exemple Calcul différentiel) que la différentiabilité est généralisable aux fonctions vectorielles et aux fonctions de plusieurs variables.