Dérivation/Développement limité d'ordre 1

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Nous allons étudier dans ce chapitre le développement limité d'une fonction en un point de son domaine de dérivabilité.

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Ce chapitre est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon.

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable en un réel $x_{0}$ de son domaine de définition. Soit $a$ son nombre dérivé en $x_{0}$. On définit alors une fonction $\varepsilon$, dont la variable sera notée $h$, par :

$\varepsilon (h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-a$.

Nous voyons immédiatement que :

$\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-a\right]=a-a=0$.

D'autre part, nous voyons que :

${\begin{aligned}\varepsilon (h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}-a&\Leftrightarrow {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=a+\varepsilon (h)\\&\Leftrightarrow f(x_{0}+h)-f(x_{0})=ah+h\varepsilon (h)\\&\Leftrightarrow f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h).\end{aligned}}$

Par définition, nous dirons que $f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)$ est le développement limité d'ordre 1 de la fonction $f$ en $x_{0}$.

Nous poserons alors la définition suivante :

Développement limité d'ordre 1

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $\left]c,d\right[$ et soit $x_{0}$ appartenant à $\left]c,d\right[$.

Nous dirons que $f$ admet un développement limité d'ordre 1 en $x_{0}$ s'il existe un réel $a$ et une fonction $\varepsilon$ vérifiant :

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)$ avec $\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0$

Toute fonction dérivable en un point $x_{0}$ admet donc un développement limité d'ordre 1 en $x_{0}$.

Visualisation graphique

De façon à mieux visualiser ce qu'est un développement limité d'ordre 1, nous allons étudier le graphique représenté à droite. Sur ce graphique, nous avons représenté une portion de courbe représentative d'une fonction et au point $M$ d'abscisse $x_{0}$ nous avons tracé la tangente à la courbe. Nous avons ensuite représenté une verticale coupant l'axe des abscisses en un point $A$ d'abscisse $x_{0}+h$. Cette verticale recoupe la tangente et la courbe respectivement en $C$ et en $D$. Nous avons ensuite représenté trois horizontales passant respectivement par $M$, $C$ et $D$, l'horizontale passant par $M$ recoupe la verticale en $B$.

Nous pouvons alors écrire :

${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$.

Sur le schéma, nous voyons immédiatement que :

${\overline {AB}}=f(x_{0})$ et ${\overline {AD}}=f(x_{0}+h)$.

Pour le calcul ${\overline {BC}}$, nous pouvons considérer le triangle $MBC$ rectangle en $B$. Nous savons que le coefficient directeur d'une droite est la tangente de l'angle entre cette droite et l'horizontale. Nous avons donc :

$\tan {\widehat {BMC}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {MB}}}={\frac {\overline {BC}}{h}}$.

Nous savons aussi que le coefficient directeur est donné par $a$, le nombre dérivé de la fonction en $x_{0}$ ; nous obtenons donc :

$a={\frac {\overline {BC}}{h}}$,

ce qui nous donne :

${\overline {BC}}=ah$.

En reportant tout ce que nous avons trouvé dans :

${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$,

nous obtenons :

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+{\overline {CD}}$

et là, une simple comparaison avec la formule :

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)$

nous montre que :

${\overline {CD}}=h\varepsilon (h)$.

Nous avons représenté toutes les valeurs que nous avons calculées sur le dessin.

Approximation affine

Soit $f$ une fonction dérivable en $x_{0}$. Nous avons vu que cette fonction admet un développement en $x_{0}$ et nous pouvons écrire :

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)$ avec $\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0$

Si nous regardons de plus près ce développement, nous voyons que nous pouvons le considérer comme une fonction d'une variable $h$ pouvant s'écrire comme somme de deux fonctions :

• d'une part, nous avons la fonction $h\mapsto f(x_{0})+ah$ qui est une fonction affine ;
• d'autre part, nous avons la fonction $h\mapsto h\varepsilon (h)$ qui représente l'écart entre la fonction $f$ et la fonction $h\mapsto f(x_{0})+ah$.

Cela signifie que si l'on remplace la fonction $f$ par la fonction $h\mapsto f(x_{0})+ah$, on commet une erreur donnée par une fonction $e$ définie pour tout $h$ par :

$e(h)=\left|h\varepsilon (h)\right|$.

Ce qui est remarquable dans cette erreur, c'est quelle s'exprime comme une valeur absolue du produit de deux fonctions qui tendent vers $0$ lorsque $h$ tend vers $0$. Nous pouvons alors penser que pour $h$ suffisamment proche de $0$ l'erreur sera très faible.

On dira donc que l'on fait une approximation affine de la fonction $f$ lorsque l'on substituera à celle-ci la fonction $h\mapsto f(x_{0})+ah$.

Exemple d'approximations affines

Premier exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=x^{n}$. Sa fonction dérivée étant définie par $f'(x)=nx^{n-1}$, son développement limité en $x_{0}$ sera alors :

$(x_{0}+h)^{n}=x_{0}^{n}+nhx_{0}^{n-1}+h\varepsilon (h)$ avec $\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0$.

Pour $h$ suffisamment petit, nous aurons alors $(x_{0}+h)^{n}\simeq x_{0}^{n}+nhx_{0}^{n-1}$.

En particulier, si $x_{0}=1$ et $h=x$, on obtient la formule :

$(1+x)^{n}\simeq 1+nx$ si $x$ proche de $0$,

formule qui était bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Deuxième exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)={\sqrt {x}}$. Sa fonction dérivée étant définie par $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$, son développement limité en $x_{0}$ sera alors :

${\sqrt {x_{0}+h}}={\sqrt {x_{0}}}+{\frac {h}{2{\sqrt {x_{0}}}}}+h\varepsilon (h)$ avec $\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0$.

Pour $h$ suffisamment petit, nous aurons alors ${\sqrt {x_{0}+h}}\simeq {\sqrt {x_{0}}}+{\frac {h}{2{\sqrt {x_{0}}}}}$.

En particulier, si l'on pose $x_{0}=1$ et $h=x$, on obtient la formule :

${\sqrt {1+x}}\simeq 1+{\frac {x}{2}}$ si $x$ proche de $0$,

formule qui était aussi bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Troixième exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)={\frac {1}{x}}$. Sa fonction dérivée étant définie par $f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$, son développement limité en $x_{0}$ sera alors :

${\frac {1}{x_{0}+h}}={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {h}{x_{0}^{2}}}+h\varepsilon (h)$ avec $\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0$.

Pour $h$ suffisamment petit, nous aurons alors ${\frac {1}{x_{0}+h}}\simeq {\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {h}{x_{0}^{2}}}$.

En particulier, si l'on pose $x_{0}=1$ et $h=x$, on obtient la formule :

${\frac {1}{1+x}}\simeq 1-x$ si $x$ proche de $0$,

formule qui était, elle aussi, bien connue des physiciens avant l'invention de la calculatrice.

Différentiabilité

Nous poserons la définition suivante :

Fonction différentiable en $x_{0}$

Une fonction numérique sera dite différentiable en un point $x_{0}$ de son domaine de définition si elle admet un développement limité d'ordre 1 en $x_{0}$, autrement dit s'il existe un nombre $a$ et une fonction $\varepsilon$ telle que :

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)$ avec $\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0$.

Nous avons la propriété suivante :

Dérivabilité d'une fonction différentiable

Une fonction numérique différentiable en un point $x_{0}$ de son domaine de définition sera aussi dérivable en $x_{0}$.

Démonstration

Soit $f$ une fonction différentiable en un point $x_{0}$ de son domaine de définition. Cela signifie qu'il existe un nombre $a$ et une fonction $\varepsilon$ telle que :

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+ah+h\varepsilon (h)$ avec $\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)=0$

Pour $h$ non nul, l'expression précédente peut s'écrire :

${\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=\varepsilon (h)+a$

Qui nous permet d'écrire :

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}\varepsilon (h)+a=a$

Ce qui nous montre que $f$ est dérivable en $x_{0}$ et que son nombre dérivé est $a$

 

Question : Puisqu'une fonction numérique est différentiable en $x_{0}$ si et seulement si elle est dérivable en $x_{0}$, quel intérêt y a-t-il à introduire deux notions au lieu de se contenter d'une seule ? Réponse : La dérivabilité nous permet de définir aisément la fonction dérivée, mais présente un inconvénient : elle fait intervenir le quotient ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$. Or le quotient de deux éléments n'est pas défini dans tous les ensembles ; on ne définit pas, par exemple, le quotient de deux vecteurs. La notion de dérivabilité n'est donc pas généralisable aux fonctions vectorielles. Par contre, la définition de la différentiabilité ne fait apparaître aucun quotient et nous verrons dans des leçons de niveau plus élevé (voir par exemple Calcul différentiel) que la différentiabilité est généralisable aux fonctions vectorielles et aux fonctions de plusieurs variables.