Dérivation/Sens de variation
Dans ce chapitre, nous allons établir le lien existant entre fonction dérivée et étude du sens de variation d'une fonction. Nous verrons alors que la fonction dérivée est un outil particulièrement puissant dans l'étude et le tracé d'une fonction.
Premières considérations modifier
Soit une fonction croissante sur un intervalle sur lequel est dérivable.
Nous savons déjà que pour tout nombre et de , nous avons .
Si la fonction est strictement croissante, nous aurons .
Soit un nombre donné de . fixons en posant et posons . Nous ferons alors varier de façon à ce que reste dans .
Nous pouvons dire alors que :
Si est croissante sur alors .
Si est strictement croissante sur alors .
Comme est dérivable sur la limite existe et est finie.
Nous nous posons la question : Que peut-on dire de cette limite ?
En faisant un raisonnement plus intuitif que mathématique, nous remarquons que est composé de fonctions continues. Par conséquent la fonction qui à associe l'expression sera elle aussi continue. Lorsque varie et s'approche de , le rapport gardera toujours des valeurs positives. On voit mal, dans ces conditions, comment ce rapport pourrait tendre vers une valeur strictement négative sans prendre, pour certaines valeurs de , les valeurs négatives comprises entre et . Nous admettrons donc que . Et par conséquent le nombre dérivé en est positif ou nul. Cela étant vrai quel que soit le choix de dans , la fonction dérivée sera positive sur .
Le raisonnement que nous venons de faire n'a pas tenu compte du fait que était croissante ou strictement croissante. Par conséquent, nous admettrons qu'il est possible que la fonction dérivée s'annule pour certaines valeurs de même si celle-ci est strictement croissante.
Rapport entre dérivée et sens de variation modifier
Nous avons les trois théorèmes suivants :
Soit un intervalle de sur lequel une fonction est dérivable.
La fonction est croissante sur si et seulement si pour tout de ,
Soit un intervalle de sur lequel une fonction est dérivable.
La fonction est décroissante sur si et seulement si pour tout de ,
Soit un intervalle de sur lequel une fonction est dérivable.
La fonction est constante sur si et seulement si pour tout de ,
Une démonstration rigoureuse de ces trois théorèmes nécessite des outils de niveau supérieur. Nous admettrons donc ces trois théorèmes et nous nous contenterons donc des vagues considérations du paragraphe précédent.
Extremums modifier
Soit une fonction et soit un intervalle sur lequel est dérivable et sur lequel il existe un nombre fini de points où la dérivée s'annule. Nous supposerons aussi que la dérivée est continue sur .
![{\displaystyle ]a;\,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379c5cc70fd0090c086d35efe9c7e9143c8b37d6)
Quitte à réduire l'intervalle d'étude, nous pouvons supposer que la dérivée s'annule en un seul point de .
Considérons alors les deux intervalles et . étant continue sur chacun de ces deux intervalles , la fonction aura donc un signe constant sur chacun d'eux.
![{\displaystyle ]a;\,x_{0}[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb876816fe30cc5eb80777dfc37d56c8b038bcf)
![{\displaystyle ]x_{0};\,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ab2f85787586932ee7140a2eca2e4a86e6e71f)
Quatre cas peuvent alors si produire :
Premier cas : est positive sur et positive sur , nous savons déjà que cela entraîne que est croissante sur .
![{\displaystyle ]a;b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5876eb751b77c77759e1cd71ccc0cf532d76b025)
Deuxième cas : est négative sur et négative sur , nous savons déjà que cela entraîne que est décroissante sur .
Troisième cas : est positive sur et négative sur , la fonction sera donc croissante sur et décroissante sur . Nous dirons qu'elle admet un maximum relatif en .
Quatrième cas : est négative sur et positive sur , la fonction sera donc décroissante sur et croissante sur . Nous dirons qu'elle admet un minimum relatif en .
Un maximum ou un minimum sont ce que l'on appelle des extremums. Rechercher les extremums d'une fonction, c'est rechercher tous les points de la courbe où la fonction admet un maximum ou un minimum.
