Dérivation/Sens de variation

Début de la boite de navigation du chapitre

Dans ce chapitre, nous allons établir le lien existant entre fonction dérivée et étude du sens de variation d'une fonction. Nous verrons alors que la fonction dérivée est un outil particulièrement puissant dans l'étude et le tracé d'une fonction.

Sens de variation
Icône de la faculté
Chapitre no 4
Leçon : Dérivation
Chap. préc. :Opérations entre fonctions
Chap. suiv. :Développement limité d'ordre 1
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Dérivation : Sens de variation
Dérivation/Sens de variation
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Premières considérations

modifier

Soit une fonction   croissante sur un intervalle   sur lequel   est dérivable.

Nous savons déjà que pour tout nombre   et   de  , nous avons  .

Si la fonction est strictement croissante, nous aurons  .

Soit   un nombre donné de  . fixons   en posant   et posons  . Nous ferons alors varier   de façon à ce que   reste dans  .

Nous pouvons dire alors que :

Si   est croissante sur   alors  .

Si   est strictement croissante sur   alors  .

Comme   est dérivable sur   la limite   existe et est finie.

Nous nous posons la question : Que peut-on dire de cette limite ?

En faisant un raisonnement plus intuitif que mathématique, nous remarquons que   est composé de fonctions continues. Par conséquent la fonction qui à   associe l'expression   sera elle aussi continue. Lorsque   varie et s'approche de  , le rapport   gardera toujours des valeurs positives. On voit mal, dans ces conditions, comment ce rapport pourrait tendre vers une valeur strictement négative   sans prendre, pour certaines valeurs de  , les valeurs négatives comprises entre   et  . Nous admettrons donc que  . Et par conséquent le nombre dérivé en   est positif ou nul. Cela étant vrai quel que soit le choix de   dans  , la fonction dérivée   sera positive sur  .

Le raisonnement que nous venons de faire n'a pas tenu compte du fait que   était croissante ou strictement croissante. Par conséquent, nous admettrons qu'il est possible que la fonction dérivée   s'annule pour certaines valeurs de   même si celle-ci est strictement croissante.


Rapport entre dérivée et sens de variation

modifier

Nous avons les trois théorèmes suivants :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Une démonstration rigoureuse de ces trois théorèmes nécessite des outils de niveau supérieur. Nous admettrons donc ces trois théorèmes et nous nous contenterons donc des vagues considérations du paragraphe précédent.

Extremums

modifier

Soit   une fonction et soit   un intervalle sur lequel   est dérivable et sur lequel il existe un nombre fini de points où la dérivée s'annule. Nous supposerons aussi que la dérivée   est continue sur  .

Quitte à réduire l'intervalle d'étude, nous pouvons supposer que la dérivée   s'annule en un seul point   de  .


Considérons alors les deux intervalles   et  .   étant continue sur chacun de ces deux intervalles , la fonction   aura donc un signe constant sur chacun d'eux.

Quatre cas peuvent alors si produire :

Premier cas :   est positive sur   et positive sur  , nous savons déjà que cela entraîne que   est croissante sur  .

Deuxième cas :   est négative sur   et négative sur  , nous savons déjà que cela entraîne que   est décroissante sur  .

Troisième cas :   est positive sur   et négative sur  , la fonction sera donc croissante sur   et décroissante sur . Nous dirons qu'elle admet un maximum relatif en  .

Quatrième cas :   est négative sur   et positive sur  , la fonction sera donc décroissante sur   et croissante sur . Nous dirons qu'elle admet un minimum relatif en  .

Un maximum ou un minimum sont ce que l'on appelle des extremums. Rechercher les extremums d'une fonction, c'est rechercher tous les points de la courbe où la fonction admet un maximum ou un minimum.