Diagramme de Bode/Fonction de transfert

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Notion de filtre linéaire

Certains systèmes physiques réagissent à une excitation (électrique, matérielle...) en suivant un mouvement éventuellement atténué, éventuellement déphasé (c'est-à-dire décalé dans le temps). Dans de nombreux cas, on appelle de tels systèmes des « filtres », pour des raisons historiques.

Parmi tous les filtres, certains ont, pour un signal donné, une réponse proportionnelle à l'excitation : ce sont des filtres « linéaires ». Ainsi, lorsque l'excitation est un signal sinusoïdal, la « sortie » du filtre est directement proportionnelle à l' « entrée ». Pour prendre en compte le déphasage éventuel, nous travaillons en notations complexes.

Par leur diversité et l’intérêt prépondérant qu’ils exposent, dans cette leçon, nous étudierons pour l'essentiel les filtres électriques linéaires, qui mettent en jeu des composants comme les résistances, les condensateurs...

Système étudié

On étudie un système quadripôle, caractérisé par : deux pattes d'entrée entre lesquelles on applique une tension V₁ et par où entre un courant I₁ ; deux pattes de sortie sur lesquelles on récupère une tension V₂ et par où sort un courant I₂.

Par convention, on prend toujours les intensités dans le sens entrant dans le quadripôle, en entrée comme en sortie.

Le but de ce cours est d’étudier la réponse du quadripôle à un signal d'entrée sinusoïdal. La théorie de la transformation de Fourier permet alors de déduire de cette étude le comportement du quadripôle face à n’importe quel signal.

Dans tout ce cours, on utilisera la notation complexe pour les grandeurs physiques sinusoïdales. La tension d'entrée V₁ sera ainsi sous sa forme complexe : ${\underline {V}}_{1}=V_{1}e^{j\omega t}$, où j est le nombre tel que $j^{2}=-1$ et où ω est la pulsation du signal d'entrée.

Linéarité, fonction de transfert

Définition

Un quadripôle est linéaire lorsque la relation entre V₁ et V₂ est linéaire, c'est-à-dire de la forme ${\underline {V}}_{2}={\underline {H}}(j\omega )\cdot {\underline {V}}_{1}$.

H s’appelle la fonction de transfert du quadripôle.

Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

Dans l'exemple de ce filtre passe-bas basique, la formule du pont diviseur de tension nous permet d'obtenir la relation :

$V_{\mathrm {out} }=V_{\mathrm {in} }{\frac {\frac {1}{jC\omega }}{{\frac {1}{jC\omega }}+R}}=V_{\mathrm {in} }{\frac {1}{1+jRC\omega }}$.

La fonction de transfert de ce filtre passe-bas est donc :

${\underline {H}}(j\omega )={\frac {1}{1+jRC\omega }}$.

On remarque que ${\underline {H}}$ tend vers 0 lorsque la pulsation devient grande : les hautes-fréquences ne sont pas transmises, on parle de filtre « passe-bas » (il faut entendre, « passe basses fréquences »). De plus, seuls des composants électriques passifs interviennent (ils n'apportent pas de puissance), il s'agit donc d'un « filtre passe-bas passif ».

On peut remarquer que la quantité RC est homogène à un temps (c'est la fameuse « constante de temps » du circuit RC), donc que la quantité :

$\omega _{0}={\frac {1}{RC}}$

est homogène à une pulsation, et appelée « pulsation propre » du système. Cette valeur est particulière, comme nous le verrons plus loin, et permet d'ores et déjà d'écrire la fonction de transfert sous sa forme canonique :

${\underline {H}}(j\omega )={\frac {1}{1+j{\frac {\omega }{\omega _{0}}}}}$

Cette relation dépend de ω, c’est une fonction de transfert « d'ordre un ». Tous les filtres passe-bas passifs d'ordre un ont une fonction de transfert de la forme de celle-ci.

On pose souvent $x={\frac {\omega }{\omega _{0}}}$. La fonction de transfert est alors ${\underline {H}}(x)={\frac {1}{1+jx}}$

Fin de l'exemple