Diagramme de Bode/Gain et phase

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Gain

Gain « absolu »

Définition

Le module $H(\omega )$ de la fonction de transfert ${\underline {H}}(j\omega )$ s’appelle le gain du système.

Gain en dB

Définition

Le gain en puissance G, exprimé en Bels (B) est défini par $G=\log \left({\frac {{\mathcal {P}}_{2}}{{\mathcal {P}}_{1}}}\right)$, où

• ${\mathcal {P}}_{1}$ est la puissance d'entrée du quadripôle
• ${\mathcal {P}}_{2}$ est la puissance de sortie du quadripôle

Gain en dB

On utilise plus couramment le décibel (dB) pour exprimer le gain en puissance G_dB: $G_{\mathrm {dB} }=10\log \left({\frac {{\mathcal {P}}_{2}}{{\mathcal {P}}_{1}}}\right)$

Gain en tension

On peut exprimer le gain en termes de tension : $G_{\mathrm {dB} }=10\log \left({\frac {u_{2,\mathrm {max} }^{2}}{u_{1,\mathrm {max} }^{2}}}\right)=20\log \left({\frac {u_{2,\mathrm {max} }}{u_{1,\mathrm {max} }}}\right)$

Relation avec la fonction de transfert

$G_{\mathrm {dB} }=20~\log(H)$

Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

• La fonction de transfert de ce filtre est ${\underline {H}}(x)={\frac {1}{1+jx}}$.
• Le gain vaut $H(x)=|{\underline {H}}(x)|={\frac {1}{|1+jx|}}$, d'où $H(x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$.
• Le gain en décibels vaut alors $G_{\mathrm {dB} }=20\log \left({\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=-10\log(1+x^{2})$

Fin de l'exemple

Représentation graphique

Exemple de tracé de G_dB sur papier semi-log

En raison de l’expression logarithmique du gain en dB, on utilise pour représenter l'évolution du gain une échelle logarithmique en abscisse et linéaire en ordonnée.

On trace alors en réalité G_dB en fonction de log(x).

Il existe du papier adapté au tracé de ces graphes : il s'agit du papier semi-logarithmique.

Bande passante

Définition

On appelle :

• fréquence de coupure une fréquence pour laquelle G_dB=−3 dB
• bande passante est alors l'ensemble des fréquences pour lesquelles G_dB≥−3 dB.

Filtres

• Un filtre passe-bas est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure haute. Il atténue les signaux de haute fréquence.
• Un filtre passe-haut est un circuit admettant seulement une fréquence de coupure basse. Il atténue les signaux de basse fréquence.
• Un filtre passe-bande est un circuit admettant une bande passante. Il atténue les signaux de haute et basse fréquence.

Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

• Le gain en décibels vaut $G_{\mathrm {dB} }=-10\log(1+x^{2})$
• La fréquence de coupure est atteinte en x=1, car -10 log(2) = -3 : elle vaut donc $f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}$
• Si f > f_c, x > 1 donc G_dB < −3 dB. Ce filtre atténue donc les hautes fréquences. C’est donc bien un filtre passe-bas.

Fin de l'exemple

Phase

Pour un quadripôle linéaire, ${\underline {V}}_{2}={\underline {H}}(j\omega )\cdot {\underline {V}}_{1}$. En termes d'arguments, cela donne $\varphi _{2}=\arg({\underline {H}}(j\omega ))+\varphi _{1}$.

Définition

Le déphasage entre l'entrée et la sortie est $\varphi =\arg({\underline {H}}(j\omega ))$

Début de l'exemple

Filtre passe-bas passif

• La fonction de transfert de ce filtre est ${\underline {H}}(x)={\frac {1}{1+jx}}$.
• Le déphasage vaut $\varphi =\arg \left({\frac {1}{1+jx}}\right)=\arg(1)-\arg(1+jx)=-\arctan(x)$

Fin de l'exemple