Discussion:Électrostatique des conducteurs/Conducteur en équilibre électrostatique

Bonjour, J’ai une question concernant l’application de ce cours à un exercice.

Exercice

Soit un référentiel (O,(x,y,z)). On a:

• un disque conducteur de rayon R, situé dans le plan xOy, centré sur O et de charge totale Q.
• un point une particule située au point M(0,0,z) de charge q.

Question: comment va se répartir la charge sur le disque ?

Notations:

sachant que le problème est à symétrie de révolution selon l'axe (Oz), passons en coordonnées cylindriques et notons: $\sigma (r)$ la densité surfacique de charge sur le disque.

Merci d'avance pour votre aide, je bloque! --SimonDenel 9 avril 2009 à 19:18 (UTC)

Bonjour,

Je pense qu'on ne s'aventure pas trop en avançant que les charges de signe contraire à q auront tendance à s'accumuler au centre du disque (puisque c’est là où il y a la plus faible distance) et que les charges de même signe que q auront tendance à se rapprocher des bords pour fuir l'influence de q.

Après quelques essais infructueux, je ne sais pas si on est capable de remonter à une solution analytique de la répartition σ(r) sur le disque.

Pour ce faire, je pense qu’il faudrait partir sur la piste de l'énergie en disant que le système cherche à minimiser son énergie électrostatique en déséquilibrant la répartition de charge sur le disque. Mathématiquement, le problème se résume à la minimalisation de l'intégrale (énergie potentielle électrostatique qui vaut, sauf erreur de calcul de ma part ${\frac {q}{2\epsilon _{0}}}\int _{0}^{R}{\frac {r\,\sigma (r)}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\,{\rm {d}}r$) sous la contrainte $\int _{0}^{R}2\pi r\sigma (r)\,{\rm {d}}r=Q$

Il doit y avoir une ruse mathématique permettant de remonter à un σ satisfaisant (je trouve ça trop gros gros pour être totalement dû au hasard que ${\frac {r}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}$ soit la dérivée de ${\sqrt {r^{2}+z^{2}}}$ par rapport à r, il doit y avoir une piste à explorer de ce côté), mais pour ce soir je n'ai pas de réponse plus intelligente à proposer... Xzapro4 _discuter 9 avril 2009 à 20:57 (UTC)

Bonjour Xzapro4, J'avais pour ma part essayé de passer par le calcul du champ électrique: puisque en statique le flux de charge est nul, celui ci doit être nul (on est sur un conducteur). Or, chaque surface élémentaire subit de la part de la distribution de charges deux champs:

• L'un venant de la charge placée en M: ${\overrightarrow {E_{1}}}.{\overrightarrow {u_{r}}}={\frac {q}{4.\pi .\epsilon _{0}}}.{\frac {r}{(r^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}$
• L'autre venant des autres charges situées sur le disque: là le calcul devient impossible difficile.

Ma technique de calcul m'amène à me demander si, dans votre calcul du potentiel, vous n'auriez pas oublié les interactions entre les différentes charges du disque: le potentiel lié à ces interactions n'a aucune raison d’être nul il me semble. Merci pour votre aide, --SimonDenel 10 avril 2009 à 08:12 (UTC)

Rebonjour!

Cette fois-ci, je pense avoir une esquisse de solution. Je passe par le potentiel, qui semble plus simple à utiliser que le champs.

Alors:

• Le disque est un conducteur, le potentiel y est donc constant. il vaut ainsi ce qu’il vaut pour r=0:

$V_{total}={\frac {q}{4.\pi .\epsilon _{0}.z}}$

• Celui-ci, en n’importe quel point du disque, est du:
  • à la particule:$V_{1}={\frac {q}{4.\pi .\epsilon _{0}.{\sqrt {r^{2}+d^{2}}}}}$
  • au reste de la distribution:$V_{2}(r)=\int _{0}^{R}{\dfrac {p.\sigma (p)}{2.\pi .\epsilon _{0}}}\int _{0}^{2.\pi }{\dfrac {1}{\sqrt {p^{2}+r^{2}-2.r.p.cos(\theta )}}}d\theta dp$

Ainsi, et si aucune erreur ne s'est glissée dans mes calculs, le problème devient purement mathématique. Reste qu’il n'en semble pas moins compliqué.--SimonDenel 10 avril 2009 à 21:50 (UTC)

Bonjour SimonDenel,

Passer par des grandeurs scalaires est en effet pour le calcul plus intéressant que conserver des grandeurs vectorielles.

« Ma technique de calcul m'amène à me demander si, dans votre calcul du potentiel, vous n'auriez pas oublié les interactions entre les différentes charges du disque: le potentiel lié à ces interactions n'a aucune raison d’être nul il me semble. » ⇒ Bonne remarque, désolé pour l'erreur grossière…

Il me semble cependant que la méthode avec les potentiels présente deux inconvénients :

Le premier est que si on veut égaliser les 2 termes $V_{total}$ et $V_{1}+V_{2}$, ce qui est l'aboutissement de votre raisonnement si je l'ai bien compris, il faut veiller à prendre la même référence de potentiel pour tous les calculs comme les potentiels électrostatiques sont définis à une constante près. En réalité $V_{1}+V_{2}={\frac {q}{4.\pi .\epsilon _{0}.{\sqrt {r^{2}+d^{2}}}}}+\int {\rm {machin}}+c_{1}$ où c₁ est une constante à ajuster pour avoir effectivement l'égalité en r=0 (par exemple).

Abstraction faite de ce « détail », ce qui me chiffonne vraiment est que cette méthode aboutira bien sûr à une égalité avec une inconnue σ dans l'intégrande, mais qu’il n'y aura pas de critère pour essayer de résoudre. Il y a de grandes chances qu’il existe de multiples σ vérifiant cette égalité (en plus de vérifier une somme valant Q).

C'est pour cette raison que je pensais plutôt partir de l'énergie : parce qu'on sait que le système va spontanément essayer de minimiser son énergie potentielle, ce qui donne un critère mathématique supplémentaire.

Reste de toute façon le problème de l'intégrale pour lequel je n'ai pas vraiment d'idée. La question qui vous est posée est-elle de déterminer une expression analytique de σ ou juste de décrire le comportement des charges ? Xzapro4 _discuter 11 avril 2009 à 09:45 (UTC)

Bonsoir,

La question m'étant posé par moi-même, et compte tenu de la difficulté mathématique rencontrée, je me satisferai d'une réponse qualitative. Merci pour votre aide, la conclusion de cet exercice pouvant donc être que tout exemple autre que connu d'application d'un cours nécessite vite d’être excellent, ou, à défaut, d’avoir de bons outils informatiques...

--SimonDenel 16 avril 2009 à 19:08 (UTC)