Discussion:Application (mathématiques)/Exercices/Images directes et réciproques

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dans w:Image directe et w:Image réciproque. Merci d'en tenir compte en cas de renommage. Anne, 26/10/2017

Démonstration de l'exercice 1

Bonjour, je trouve la correction de l'exercice 1 beaucoup trop synthétique. J'ai deux options.à proposer :

1) La démonstration (assez technique) de https://www.maths-france.fr/MathSup/Cours/02-ensembles-relations-applications.pdf (page 26)

2) Une démonstration plus élémentaire mais aussi plus accessible :

$\Longrightarrow$) Soit  $y\in f(A)\cup f(A')$

Si $y\in f(A)$, $\exists x\in A,f(x)=y$. $x\in A$ donc $x\in A\cup A'$ donc $f(x)\in f(A\cup A')$ or $f(x)=y$ donc $y\in f(A\cup A')$

Si $y\in f(A)'$, on montre pareillement que  $y\in f(A\cup A')$

Dans tous les cas, $y\in f(A\cup A')$

$\Longleftarrow$) Soit  $y\in f(A\cup A')$

$\exists xA\cup A',f(x)=y$. Si $x\in A,f(x)\in f(A)$. Si $x\in A',f(x)\in f(A')$.

$x\in A$ ou $x\in A'$ donc $f(x)\in f(A)$ ou $f(x)\in f(A')$ donc $f(x)\in f(A)\cup f(A')$

or $f(x)=y$ donc $y\in f(A)\cup f(A')$

— Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par Celastus (d · c · b · s), le 19/4/2021.

Bonjour, être synthétique est souvent plus une qualité qu'un défaut. Votre option 1 n'est pas technique : c'est juste un délayage moins lisible. Votre option 2 n'est pas plus élémentaire, seulement plus compliquée (inutile de démontrer séparément les deux implications de l'équivalence). Anne Bauval (discussion) 24 avril 2021 à 10:12 (UTC)