Application (mathématiques)/Exercices/Images directes et réciproques

Soient $E$ et $F$ deux ensembles, $f:E\to F$ une application, $A$ et $A'$ deux parties de $E$, et $B$ et $B'$ deux parties de $F$. Démontrer les propriétés suivantes (en utilisant éventuellement, pour chacune, les précédentes).

Exercice 1-1

$f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')$.

Solution

$f(A\cup A')=\{f(x)\mid x\in A\cup A'\}=\{f(x)\mid x\in A\}\cup \{f(x)\mid x\in A'\}=f(A)\cup f(A')$.

 

Exercice 1-2

$A\subset A'\Rightarrow f(A)\subset f(A')$.

Solution

$A\subset A'\Leftrightarrow A\cup A'=A'\Rightarrow f(A\cup A')=f(A')\Leftrightarrow$$f(A)\cup f(A')=f(A')\Leftrightarrow f(A)\subset f(A')$.

 

Exercice 1-3

1. $f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')$.
2. Cette inclusion est parfois stricte.
3. Si $f$ est injective alors $f(A\cap A')=f(A)\cap f(A')$.

Solution

1. D'après l'exercice 1-2, $f(A\cap A')\subset f(A)$ (car $A\cap A'\subset A$) et de même, $f(A\cap A')\subset f(A')$.
2. Soient $f:E\to F$ une application non injective et $a,a'\in E$ distincts tels que $f(a')=f(a)$. Posons $A=\{a\}$ et $A'=\{a'\}$. Alors, $f\left(A\cap A'\right)=f(\varnothing )=\varnothing$, tandis que $f(A)\cap f(A')=\{f(a)\}\cap \{f(a')\}=\{f(a)\}$.
3. Procédons par double inclusion, l'une étant claire d'après ce qui précède. Soit $b\in f(A)\cap f(A')$, c'est-à-dire qu'il existe $a\in A$ et $a'\in A'$ tels que $b=f(a)$ et $b=f(a')$. Si $f$ est injective, il en résulte que $a=a'$ donc $a\in A\cap A'$ et $b=f(a)\in f(A\cap A')$

 

Exercice 1-4

$f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')$.

Solution

Soit $x\in E$. Alors, $x\in f^{-1}(B\cup B')\Leftrightarrow f(x)\in B\cup B'\Leftrightarrow f(x)\in B{\text{ ou }}f(x)\in B'\Leftrightarrow x\in f^{-1}(B){\text{ ou }}x\in f^{-1}(B')\Leftrightarrow x\in f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')$.

 

Exercice 1-5

$B\subset B'\Rightarrow f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B')$.

Solution

Se déduit de l'exercice 1-4 exactement de la même manière que l'exercice 1-2 se déduisait du 1-1.

 

Exercice 1-6

$f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')$.

Solution

Se démontre exactement de la même manière que l'exercice 1-4, en remplaçant $\cup$ par $\cap$ et ${\text{ou}}$ par ${\text{et}}$.

 

Exercice 1-7

$f^{-1}\left(\complement _{F}B\right)=\complement _{E}{f^{-1}(B)}$.

Solution

D'après les exercices 1-6 et 1-4, $f^{-1}\left(\complement _{F}B\right)$ et $f^{-1}(B)$ ont pour intersection $f^{-1}(\varnothing )=\varnothing$ et pour réunion $f^{-1}(F)=E$. Ils sont donc complémentaires l'un de l'autre dans $E$.

 

Exercice 1-8

1. $A\subset f^{-1}(f(A))$.
2. Cette inclusion est parfois stricte.
3. Si $f$ est injective alors $A=f^{-1}(f(A))$.
4. On dit que $A$ est saturé par $f$ si $A=f^{-1}(f(A))$. Montrer que cette condition équivaut à : $\forall x\in A\quad \forall x'\in E\quad f(x)=f(x')\Rightarrow x'\in A$. Montrer que les parties saturées de $E$ sont les parties de la forme $f^{-1}(B)$ avec $B\subset F$.

Solution

1. $x\in A\Rightarrow f(x)\in f(A)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(f(A))$.
2. Soient $f:E\to F$ une application non injective, $a,b\in E$ distincts tels que $f(a)=f(b)$, et $A\subset E$ une partie contenant $a$ mais pas $b$. Alors, $f^{-1}(f(A))$ contient $b$ donc n'est pas inclus dans $A$.
3. Si $f$ est injective on a égalité, car la première implication dans la question 1 devient une équivalence.
4. D'après la question 1, $A=f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow f^{-1}(f(A))\subset A$. Par conséquent :
   • $A=f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow \forall x'\in E\quad f(x')\in f(A)\Rightarrow x'\in A\Leftrightarrow \forall x'\in E\quad \forall x\in A\quad f(x)=f(x')\Rightarrow x'\in A$ ;
   • si $A=f^{-1}(B)$ alors $f(A)\subset B$ donc $f^{-1}(f(A))\subset f^{-1}(B)\subset A$, si bien que $A=f^{-1}(f(A))$.

 

Exercice 1-9

$f(f^{-1}(B))=B\cap \operatorname {Im} (f)$.

Solution

${\begin{aligned}y\in f(f^{-1}(B))&\Leftrightarrow &\exists x\in f^{-1}(B)&\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &\exists x\in E&\quad f(x)\in B\quad {\text{et}}\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &\exists x\in E&\quad y\in B\quad {\text{et}}\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &y\in B&\quad {\text{et}}\quad \exists x\in E\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &y\in B&\quad {\text{et}}\quad y\in \operatorname {Im} (f).\end{aligned}}$

 

$f(A\cap f^{-1}(B))=B\cap f(A)$

Solution

Cette égalité se déduit de la précédente, appliquée à la restriction de $f$ à $A$.

 

Exercice 1-10

$A\subset f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(A)\subset B$.

Solution

Si $A\subset f^{-1}(B)$ alors $f(A)\subset f(f^{-1}(B))\subset B$ d'après les exercices 1-2 et 1-9.

Si $f(A)\subset B$ alors $A\subset f^{-1}(f(A))\subset f^{-1}(B)$ d'après les exercices 1-8 et 1-5.

 

Exercice 1-11

Reconnaitre les ensembles $\mathrm {pr} _{2}(G\cap (A\times F))$ et $\mathrm {pr} _{1}(G\cap (E\times B))$.

Solution

$\mathrm {pr} _{2}(G\cap (A\times F))=f(A)$ et $\mathrm {pr} _{1}(G\cap (E\times B))=f^{-1}(B)$.