Discussion:Changement de variable en calcul intégral/Formule fondamentale du changement de variable
Les exemples confondent I et J et le supposé deuxième contre-exemple comporte une erreur de signe bienvenue dans le calcul (4e égalité après "On a effectivement") qui permet à l'auteur de retomber sur ses pattes.
À corriger d'urgence ! — Le message qui précède, non signé?, a été déposé par 161.3.1.42 (d · c · b · s).
- J’ai corrigé l'erreur qui était plus subtile qu’il n'y paraissait au premier abord, car il y avait, en fait, deux erreurs qui se compensaient et je suis malgré tout retombée sur mes pattes. Merci de votre intervention. (Il va, peut-être falloir que je change de contre-exemple pour éviter la subtilité sur le signe - de la première intégrale). Par contre, je n'ai pas vu de confusion entre I et J dans les exemples ? Cordialement. --Lydie Noria (discussion) 11 mai 2015 à 20:08 (UTC)
Lydie Noria : je t'aurais bien aidé mais je n'ai pas encore eu le temps d'apprendre le LaTeX 
. JackPotte ($♠) 11 mai 2015 à 17:31 (UTC)
- JackPotte :Mince, si je ne peux plus compter sur toi, que vais je devenir ?
--Lydie Noria (discussion) 11 mai 2015 à 20:08 (UTC)
- Merci, y m'aurait fallu trois semaines pour l'incuber. JackPotte ($♠) 11 mai 2015 à 20:29 (UTC)
Vous n'avez pas complètement corrigé: s'il y a un signe moins sous l'intégrale sur [0,1] c’est parce que le changement de variable n’est pas le même (à savoir x = 1+sqrt(u)) contrairement à ce que vous écrivez mais bien x=1-sqrt(u).
(et il y a lieu de s'interroger alors sur ce phi qui n’est pas C^1 sur [0,1])
Par ailleurs il suffit de regarder attentivement la formule de changement de variable donnée dans le théorème pour voir que par exemple dans dans le premier exemple tel que vous l'écrivez (et en se demandant pourquoi t s’appelle subitement y, mais tel que vous le comprenez vous c’est encore pire, c’est t qui s’appelle x et x qui s’appelle y comment un étudiant s'y retrouve?) on est obligé de comprendre que
f(x)=1/(1+sqrt(x))
phi:[2,3]->[4,9], y ->y^2 et donc phi': y ->2y d'où f o phi(y) phi'(y)=1/(1+y) * 2y
Il me semble donc raisonnable de modifier pour rendre vos exemples intelligibles par rapport à votre énoncé de théorème.
Maintenant si je reprends l'exemple dont nous discutons avec le changement de variable comme vous le comprenez (c'est-à-dire que I et J sont corrects) ; c’est donc qu'on a:
f: y -> sqrt(y)/2
phi: I=[0;3] -> J = [1,4]
x -> (x-1)^2 et donc phi'(x) = 2(x-1).
En appliquant le théorème de changement de variable énoncé au dessus on peut donc affirmer que
l'intégrale de 1 à 4 de f(y) égale l'intégrale de 0 à 3 de f(phi(x))phi'(x)
OR:
f(phi(x))phi'(x) = sqrt ( (x-1)^2) (x-1)
ET
sur [0,3]
IL EST EVIDEMMENT FAUX DE DIRE QUE sqrt ( (x-1)^2) égale x- 1 !!!!!!!!!!!
et c’est le SEUL problème dans ce que vous écrivez au début, et non une question de phi(I) inclu dans J.
Voilà j’espère avoir été plus clair car ça m'a demandé du temps d'écrire tout ça.
- Je vous remercie de votre investissement. Je vais essayer de digérer ce que vous m'avez dit à tête reposé quand j'aurai un peu de temps. Peut-être même changer carrément de contre-exemple car je me rends compte que Le contre-exemple actuel n'est probablement pas correct, car le changement de variable choisi à une expression différente selon que l’on est sur [0;1] ou sur [1;3], donc nécessite de toute façon une décomposition selon la relation de Chasles. Va falloir que je trouve un contre-exemple convenable ! Je vais aussi essayer d'harmoniser les variables x, y, t, u entre théorème et exemples pour rendre les choses plus claires. Bien cordialement. --Lydie Noria (discussion) 12 mai 2015 à 18:16 (UTC)
Vous ne trouverez pas de contre exemple parce que l'hypothèse phi(I) inclu dans J est simplement une condition pour que la formule de changement de variable ait un sens (l'intégrale de gauche dans votre énoncé); plus précisément, dans l'intégrale de gauche il y a f (phi(t)) et cela n'a évidemment de sens que si phi(t) est dans le domaine de définition de f qui est J, pour tout t dans l'intervalle d'intégration I.
Bref effectivement reprenez tout ça à tête reposée.
- Effectivement, c’est ce que je soupçonnais, car je me rappelle avoir déjà pas mal réfléchi pour trouver un contre-exemple. Je vais donc probablement me contenter d’effacer le contre-exemple et d'harmoniser les variables entre le théorème et les exemples. Va falloir aussi que je revois aussi l'exercice 3-3 car j’y ai mis un autre contre-exemple qui doit être incorrect. Quoi qu’il en soit, encore merci pour votre intervention. --Lydie Noria (discussion) 13 mai 2015 à 17:24 (UTC)
Annulation de modification
modifierJe souhaite simplement exprimer mon point de vue quant à ma modification :
- Pour vous, on devrait utiliser le fait que deux primitives, si elles sont primitives d'une même fonction et qu'elle s'annulent (sont égales) en un point, sont alors égales.
- Pour moi, on devrait utiliser le fait que deux fonctions dérivables, si leurs dérivées sont égales et qu'elle s'annulent (sont égales) en un point, sont alors égales.
On sera d'accord que d'après le Théorème fondamental de l'analyse, ces deux approches sont identiques. Cependant, pour moi, la deuxième reste plus naturelle dans la mesure où elle est bien plus utilisée car moins situationnelle. Si le contexte (une intégration) nous laisse le choix, je n'ai pas vu de cours précédent qui nous inciterait franchement à utiliser la première approche.