Changement de variable en calcul intégral/Formule fondamentale du changement de variable

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Ce premier chapitre énonce et démontre le théorème fondamental du changement de variable en calcul intégral. Nous verrons les modalités d'application de ce théorème dans les chapitres suivants.

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Début d’un théorème

Théorème

Soient $I$ et $J$ deux intervalles réels, $\Phi \in C^{1}(I,\mathbb {R} )$ telle que $\Phi (I)\subset J$ et $f\in C^{0}(J,\mathbb {R} )$

Alors :

${\begin{array}{lcl}\forall \alpha ,\beta \in I\\\forall \Phi (\alpha ),\Phi (\beta )\in J\end{array}}\qquad \int _{\alpha }^{\beta }f\left(\Phi (t)\right)\Phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\Phi (\alpha )}^{\Phi (\beta )}f(s)\,\mathrm {d} s$

Avec :

• $s=\Phi (t)$
• $ds=\Phi '(t)dt$

Fin du théorème

Nous allons, dans les prochains chapitres, passer en revue les principaux changements de variable que l’on peut être amené à effectuer.

Tous les changements de variable envisagés, dans les exemples, vérifient $\Phi (I)\subset J$.

Remarque

La condition $\Phi (I)\subset J$ est indispensable.

Par exemple, en effectuant le changement de variable $s=\Phi (t)=\sin(t)$ sans aucune précaution, on obtiendrait :

$\int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {t}{\sin(t)}}\,\mathrm {d} t=\int _{\frac {\sqrt {3}}{2}}^{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\arcsin(s)}{s{\sqrt {1-s^{2}}}}}\,\mathrm {d} s=0$

alors qu'en réalité :

$\int _{\frac {\pi }{3}}^{\frac {2\pi }{3}}{\frac {t}{\sin(t)}}\,\mathrm {d} t>0$, puisque c'est l'intégrale d'une fonction continue strictement positive sur un intervalle de longueur non nulle.