Discussion:Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien
soit g la fonction definie sur ]0;+~[ par g(x)=xln(x)-x+1 et c sa representation graphique dans le repere(O,I,J). étudier les limites de g en 0 et en +~.étudier les variations de g.étudier les variations de g.en deduire le signe de g(x).on note c' la representation graphique de la fonction x_ln(x) dans le repere (O,I,J).montrer que c et c' ont deux points communs d'abscisses respectives 1 et e et que,pour tout x élément de [1;e],on a:x_ln(x)-x+1W<ou=ln(x). 2e partie: soht f la fonction definie sur ]1;+~[ par f(x)=(1/x-1)ln(x).étudier les limites de f en +~ et en 1.determiner le tableau de variation de f.tracer la courbe representative de f dans le repere o,i,j. 3e partie: montrer que l'equation f(x)=1/2 admet une unique solution & et que 3,5<&<3,6.soit h la fonction definie sur ]1;+~[ par h(x)=ln(x)+(1/2)x+1/2.montrer que & est solution de l'equation h(x)=x. étudier le sens de variation de h. ON pose i=[3;4].montrer que pour tout x élément de i, on a h(x)€ i et |h'(x)|<ou=5/6.on definit la suite (un) par u0=3 et pour tout n>ou=0 Un+1=h(Un).justifier successivement les trois proprietes suivantes: pour tout entrer naturel n,|Un+1-&|<ou=5/6|Un-&|..pour tout entier naturel n,|Un-&|<ou=(5/6). LA suite (Un) Converge vers ~. donner un entier naturel p tel que des majorations précédentes, on puisse deduire qu'Up est une valeur approchee de ~ a 10-3 pres.
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