Discussion:Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

Demande d'aide sur un exercice

Bonjour tout le monde! Je bloque depuis quelques heures sur un exercice. Voilà l'énoncé:

$M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0\\n&0&2&0&0&0\\0&n-1&0&...&0&0\\0&0&...&0&n-1&0\\0&0&0&2&0&n\\0&0&0&0&1&0\\\end{pmatrix}}$

M est-elle diagonalisable? Mes pistes: il semble (conjecture à l'aide d'un logiciel de calcul formel) que les valeurs propres de cette matrice soient {-n, -n+2, ..., n-2, n}. On a alors n+1 zéros simples, ce qui correspond à la taille de la matrice et on peut alors conclure que M est diagonalisable. Le problème est donc de factoriser le polynome caractéristique. Ainsi: Comment calculer le déterminant:

$P(X)={\begin{vmatrix}-X&1&0&0&0&0\\n&-X&2&0&0&0\\0&n-1&-X&...&0&0\\0&0&...&-X&n-1&0\\0&0&0&2&-X&n\\0&0&0&0&1&-X\\\end{vmatrix}}$

Merci d'avance pour votre aide! --SimonDenel 29 juin 2010 à 14:48 (UTC)

Bonjour,

En y regardant de plus près, on peut remarquer que $M+^{T}M={\begin{pmatrix}0&n+1&0&0&0&0\\n+1&0&n+1&0&0&0\\0&n+1&0&...&0&0\\0&0&...&0&n+1&0\\0&0&0&n+1&0&n+1\\0&0&0&0&n+1&0\\\end{pmatrix}}$.

Calculer le déterminant de cette matrice me paraît peut-être plus facile.

Si ça ne marche pas, il est possible qu’il ne faille pas passer par le déterminant. La dernière matrice présentéeé est symétrique réelle, donc diagonalisable dans une base othonormée de vecteurs propres. Cette piste est peut-être exploitable.

Il existe $P\in {\mathcal {O}}_{n}({\mathcal {R}})$ telle que $P^{-1}(M+^{T}M)P$ soit diagonale. En développant et en utilisant $P^{-1}=^{T}P$, on montre que $P^{-1}MP+^{T}(P^{-1}MP)$ est diagonale.

Si $B+^{T}B$ est diagonale, B est la somme d'une matrice diagonale et d'une matrice antisymétrique…

C'est vrai que ça n'avance pas beaucoup mais je n'ai pas encore le fin mot de l'histoire et ça peut donner des idées Xzapro4 _discuter 29 juin 2010 à 18:16 (UTC)

Je retire l'histoire de l'étude du déterminant de la somme, c’est stupide on n'a aucune stabilité de la diagonalisabilité des endomorphismes par somme (sauf s'ils commutent, ce qui n’est pas le cas ici). Xzapro4 _discuter 29 juin 2010 à 19:06 (UTC)

Bonjour Xzapro4,

J’ai déjà essayé ce que vous venez de me proposer. Bon, je vais être franc, je me suis déjà gratté la tete quelques belles heures sur ce problème :-p

--SimonDenel 29 juin 2010 à 19:42 (UTC)

Réponse: Il faut considérer que la matrice est la matrice d'un endormorphisme de Rn[X].

M est la matrice de $f:P->(1-X^{2})*P+n*X*P$.

P vecteur propre associé à la valeur propre lambda ⟺ P solution d'une certaine équation différentielle du premier ordre, facile à intégrer.

Puis P polynôme ⟺ lambda=n-2*p, p=0..n.

Ainsi M admet n+1 valeurs propres distinctes et est donc diagonalisable.

--SimonDenel 30 juin 2010 à 12:40 (UTC)

Oui c’était évident… Désolé de ne pas avoir été d'une grande aide sur ce coup-là mais bon, il n'est jamais trop tard pour découvrir de nouvelles astuces !

En tout cas merci d’être venu apporter la réponse, cela pourra probablement en aider d'autres Xzapro4 _discuter 30 juin 2010 à 19:49 (UTC)

Ce chapitre était à réécrire

Son remplissage par des bêtises datait de juin 2010. Mieux aurait valu le laisser vide. Cette définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme n'avait pas de sens à ce niveau et la pseudo-traduction matricielle venait trop tard. J'ai pris les choses dans l'ordre inverse. Anne, 24/07/2017