Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique

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Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel et $\varphi$ un endomorphisme de $E$.

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Valeur propre, vecteur propre

Définition : valeurs propres et spectre d'un endomorphisme

• Le scalaire $\lambda \in K$ est une valeur propre de l'endomorphisme $\varphi$ lorsqu'il existe un vecteur non nul $x\in E$ tel que $\varphi (x)=\lambda x$, autrement dit si

$\ker(\varphi -\lambda \mathrm {Id} _{E})\neq \{0\}$.

• Le spectre de $\varphi$ est l’ensemble $\mathrm {Sp} (\varphi )$ de ses valeurs propres.

Définition : vecteurs propres et sous-espace propre associés à une valeur propre

Soit $\lambda$ une valeur propre de $\varphi$.

• Les vecteurs propres de $\varphi$ pour la valeur propre $\lambda$ sont les vecteurs non nuls $x\in E$ tels que $\varphi (x)=\lambda x$.
• Le sous-espace propre de $\varphi$ associé à la valeur propre $\lambda$ est :

$E_{\lambda }(\varphi )=\ker(\varphi -\lambda \mathrm {Id} _{E})$.

Il contient le vecteur nul, et ses autres éléments sont les vecteurs propres de $\varphi$ pour la valeur propre $\lambda$.

$E_{\lambda }(\varphi )$ est donc un sous-espace vectoriel de $E$, non réduit au vecteur nul. On se permettra de le noter simplement $E_{\lambda }$ s'il n'y a pas d'ambiguïté.

Lien avec le polynôme minimal

Si $\varphi$ possède un polynôme minimal $\mu _{\varphi }$, alors les valeurs propres de $\varphi$ sont les racines de $\mu _{\varphi }$.

Démonstration

• Si $\lambda$ est une valeur propre, soit $v$ un vecteur propre associé. Alors, pour tout polynôme $P$, $P(\varphi )(v)=P(\lambda )v$. En particulier, $\mu _{\varphi }(\lambda )v=0(v)=0$ donc (puisque $v\neq 0$) $\mu _{\varphi }(\lambda )=0$.
• Réciproquement, si $\mu _{\varphi }(\lambda )=0$ alors $\mu _{\varphi }(X)=(X-\lambda )Q(X)$ pour un certain polynôme $Q$ qui, vu son degré, n'est pas divisible par $\mu _{\varphi }$, ce qui équivaut à : $Q(\varphi )\neq 0$.

Alors, $\{0\}\neq \operatorname {im} {Q(\varphi )}\subset \ker(\varphi -\lambda \mathrm {Id} _{E})$ donc $\lambda$ est une valeur propre.

 

Remarque

Cette propriété permet de construire facilement, en dimension infinie et si le corps est infini, un endomorphisme sans polynôme minimal, c'est-à-dire dont l'idéal annulateur est réduit à 0 : il suffit de faire en sorte qu'il ait une infinité de valeurs propres. On peut prendre par exemple, sur $E=\mathbb {R} [X]$, l'endomorphisme $Q(X)\mapsto XQ'(X)$ dont les vecteurs propres sont les monômes et le spectre est $\mathbb {N}$.

Traduction matricielle

Tout ce vocabulaire s'applique en particulier aux matrices :

Définition : valeur propres et vecteurs propres d'une matrice

Les valeurs propres, spectre, vecteurs propres, sous-espaces propres, polynôme minimal d'une matrice carrée $A\in \mathrm {M} _{n}(K)$ sont ceux de l'endomorphisme $\varphi _{A}:K^{n}\to K^{n},\ X\mapsto AX$.

Attention

Le spectre de $A$ dépend non seulement de la matrice mais du corps de base $K$ considéré, et peut augmenter lorsqu'on étend ce corps. En cas d'ambiguïté, on le note donc plutôt $\mathrm {Sp} _{K}(A)$.

Début de l'exemple

Exemple

Soit $A={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {R} )\subset \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )$.

• L'endomorphisme $\varphi _{\mathbb {R} ,A}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ n'a aucun vecteur propre (c'est une rotation d'un quart de tour) donc $\mathrm {Sp} _{\mathbb {R} }(A)=\varnothing$.
• L'endomorphisme $\varphi _{\mathbb {C} ,A}:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ a pour vecteurs propres ${\begin{pmatrix}\mathrm {i} \\1\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}-\mathrm {i} \\1\end{pmatrix}}$, et $\mathrm {Sp} _{\mathbb {C} }(A)=\{\mathrm {i} ,-\mathrm {i} \}$.

Fin de l'exemple

Polynôme caractéristique

La définition suivante va permettre de reformuler la condition ($\ker(\varphi _{A}-\lambda \mathrm {Id} _{E})\neq \{0\}$) pour que $\lambda$ soit une valeur propre de $A$ :

Définition : polynôme caractéristique d'une matrice

Le polynôme caractéristique de $A\in \mathrm {M} _{n}(K)$ est :

$p_{A}(X)=\det(A-X\mathrm {I} _{n})\in K[X]$.

Attention

Certains auteurs préfèrent définir le polynôme caractéristique comme le déterminant de la matrice opposée, $X\mathrm {I} _{n}-A$. Ce dernier étant égal à $(-1)^{n}p_{A}(X)$, cela n'a aucune incidence sur le lemme suivant.

Début d'un lemme

Lemme 1

Les valeurs propres de $A$ sont les racines de son polynôme caractéristique $p_{A}$. Plus précisément :

$\mathrm {Sp} _{K}(A)=\{\lambda \in K\mid \det(A-\lambda \mathrm {I} _{n})=0\}$.

Fin du lemme

Démonstration

Soit $\lambda \in K$. Transformons l'équation (d'inconnue $v\in K^{n}$)

$\varphi _{A}(v)=\lambda v\Leftrightarrow Av=\lambda v\Leftrightarrow (A-\lambda \mathrm {I} _{n})v=0$.

$\lambda$ est une valeur propre de $A$ si et seulement si ce système linéaire homogène possède dans $K^{n}$ d'autres solutions que la solution triviale $v=0$, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de ce système est nul. Ce déterminant est $\det(A-\lambda I_{n})=p_{A}(\lambda )$. Donc $\lambda$ est une valeur propre de $A$ si et seulement si $p_{A}(\lambda )=0$.

 

Début d'un lemme

Lemme 2

Deux matrices carrées semblables ont même polynôme caractéristique.

Fin du lemme

Démonstration

Si $B=P^{-1}AP$ alors $P^{-1}(A-X\mathrm {I} _{n})P=B-X\mathrm {I} _{n}$ donc $p_{B}(X)=\det(P^{-1})p_{A}(X)\det P=p_{A}(X)\det P\det(P^{-1})=p_{A}(X)$.

 

Le lemme 2 donne un sens à la définition suivante :

Définition : Polynôme caractéristique d'un endomorphisme

Si $E$ est de dimension finie, le polynôme caractéristique de $\varphi$, noté $p_{\varphi }$, est le polynôme caractéristique de sa matrice dans n'importe quelle base de $E$.

On déduit alors du lemme 1 :

Corollaire

Les valeurs propres de $\varphi$ sont les racines de son polynôme caractéristique $p_{\varphi }$.

Début d’un théorème

Théorème de Cayley-Hamilton

Le polynôme caractéristique d'une matrice, ou d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie, s'annule en cette matrice, ou cet endomorphisme.

Autrement dit :

$p_{A}(A)=0$

et (si $\dim(E)<\infty$) $p_{\varphi }(\varphi )=0$.

Fin du théorème

Démonstration

Soient $\varphi$ un endomorphisme d'un espace $E$ de dimension finie, et $x$ un vecteur non nul de $E$. Il s'agit de démontrer que son image par l'endomorphisme $p_{\varphi }(\varphi )$ est nulle.

Notons $n$ le plus grand entier tel que la famille $B=(x,\varphi (x),\dots ,\varphi ^{n-1}(x))$ soit libre, $a_{i}$ les scalaires tels que $\varphi ^{n}(x)=a_{0}x+a_{1}\varphi (x)+\dots +a_{n-1}\varphi ^{n-1}(x)$, et $\psi$ la restriction de $\varphi$ à $\operatorname {Vect} (B)$.

En complétant $B$ en une base de $E$ et en écrivant la matrice de $\varphi$ dans cette base, on constate que $p_{\varphi }$ est divisible par $p_{\psi }$ (car le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est le produit des déterminants des blocs diagonaux). Il suffit donc de vérifier que $p_{\psi }(\varphi )(x)=0$.

Or la matrice de $\psi$ dans la base $B$ est la matrice compagnon du polynôme $P(X)=X^{n}-a_{n-1}X^{n-1}-\dots -a_{1}X-a_{0}$, et son polynôme caractéristique $p_{\psi }$ est égal (cf. cet exercice sur les déterminants) à $(-1)^{n}P$. Par définition des $a_{i}$, on a donc bien $p_{\psi }(\varphi )(x)=(-1)^{n}P(\varphi )(x)=0$.

Remarque

Cela démontre que $p_{A}(A)=0$ pour toute matrice (carrée) $A$ à coefficients dans un corps (commutatif), en particulier pour le corps $K=\mathbb {Q} (Y_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ (corps des fractions rationnelles en $n^{2}$ indéterminées à coefficients rationnels) et la « matrice carrée universelle de taille $n$ », $A=(Y_{i,j})\in \mathrm {M} _{n}(K)$. L'identité matricielle $p_{A}(A)=0$ qu'on obtient dans ce cas est un système de $n^{2}$ identités polynomiales à coefficients entiers en les coefficients $Y_{i,j}$ de la matrice $A$. On en déduit alors que $p_{B}(B)=0$ pour toute matrice $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ à coefficients dans un anneau commutatif quelconque, en remplaçant les indéterminées $Y_{i,j}$ par les $b_{i,j}$ dans cette « identité polynomiale universelle » $p_{A}(A)=0$.

 

On déduit de ce théorème, joint au lien entre polynôme minimal et valeurs propres (voir supra) :

Corollaire

Si $E$ est de dimension finie alors le polynôme minimal $\mu _{\varphi }$ existe, divise le polynôme caractéristique $p_{\varphi }$, et a les mêmes racines.