Discussion:Triangle rectangle/Théorèmes de Pythagore

Démonstration du Théorème de Pythagore

Ce serait sympa de mettre la démonstration du théorème de Pythagore. C’est normalement par l'axiome de Thalès.-- Bertrand GRONDIN → ^(écrire) 30 décembre 2006 à 10:55 (UTC)

Hmmm… peut être en annexe, je pense pas que les lecteurs du cours puissent comprendre la démo à leur niveau =) cela dit je vais chercher des trucs là dessus ;) (la démo n'est même pas au programme du lycée il me semble) RM77 30 décembre 2006 à 13:06 (UTC)

Il existe des démonstrations très simples du théorème de Pythagore (je dirais du niveau de 5^e — 4^e), parmi les plus de 400 qui existent . Une que j'aime bien permet d'effectuer cette démonstration juste par soustractions d'aires. Je la mets en très bref (certaines étapes sont à développer) ci après. Grimlock 24 septembre 2007 à 11:12 (UTC)

Soit un carré ABCD. Son aire A est égale au produit de la longueur de son côté par lui-même. Si l est la longueur dudit côté, alors on a A = l.l = l².
Soit I, J, K, L, des points des côtés de ABCD tels qu'AI=BJ=CK=DL=a, et l-a=b.
Les triangles IBJ, JCK, KDL, LAI sont des triangles rectangles, car un de leurs angles est droit (ABCD est un carré). De plus, ces triangles sont identiques par construction à la rotation près, car ils possèdent deux côtés de mêmes longueurs (un de longueur a, un de longueur b) et au moins un angle égal (l'angle droit). Leur troisième côté est donc lui aussi identique, et IJKL est un losange (quatre côtés de même longueur). Rajoutons, par complémentarité des angles (la somme de trois angles s'inscrivant dans un demi-plan) qu'IJK=JKL=KLI=LIJ et que ces angles sont droits (démonstration triviale). Donc IJKL est aussi un carré. Notons c la longueur de son côté.
On a, IJKL s'inscrivant dans ABCD, l²= 2 ab + c², c'est-à-dire A est égale à la somme des aires des 4 triangles rectangles identiques (soit 4 fois ab/2) et de celle de IJKL, carré de côté c. Or, nous avons l=a+b. Donc (a+b)²=2 ab + c², puis comme (a+b)²=a²+2 ab + b², on a au final : c²=a²+b², liant les trois côtés d’un triangle rectangle.
Cette relation est valable pour tout triangle rectangle, aucune spécification particulière sur les longueurs n'ayant été donnée.
Par contre, il faut la relation réciproque . Elle se base exactement sur le même principe, avec un peu de symétrie par rapport à un point, mais elle est un peu plus tordue. Avous de jouer Grimlock 24 septembre 2007 à 11:12 (UTC)

Je reformule ta démo, pour peut-être la clarifier un tantinet (quelle prétention !) :

Figures

• Soit ABCD un carré de côté l ;
• Soit IJKL un carré, inscrit dans ABCD. On note c son côté ;
• On note a = AI = BJ = CK = DL et b = l - a ;

Aires :

• L'aire de ABCD est l × l = l² ;
• L'aire de chacun des quatre triangles est (a × b)/2 ;
• On en déduit l'aire du carré inscrit (IJKL), égale à : l² - 4 (a × b)/2 = l² - 2ab ;

Résultat :

• L'aire du carré central est égale à c × c = c², et d’après ce qui précède, à l² - 2ab ;
• Par conséquent, c² = l² - 2ab = (a + b)² - 2ab = a² + b²

Ce qu’il fallait démontrer. Sharayanan _(blabla) 24 septembre 2007 à 17:18 (UTC)

Il faut juste ne pas négliger de montrer qu'IJKL est aussi un carré … La seule construction indique que c’est un losange, mais il faut juste montrer qu'un angle de ce losange est droit, ce que j’ai fait plus haut. Ma démonstration, telle qu'elle est formulée, n'indique qu'une implication de type un triangle est rectangle implique que le côté opposé à son angle droit (hypoténuse) est tel que sa longueur vérifie : c² = a² + b². Par contre, je n'ai pas démontré que si un triangle vérifie la relation précédente, il est rectangle, ce qu’il est nécessaire de faire. Grimlock 25 septembre 2007 à 08:22 (UTC)

Euh, j’ai écrit « Soit IJKL un carré […] » il n'y a rien à montrer, puisqu'on le construit comme tel , non ? Pour le caractère implicatif de ta démonstration, on peut s'en contenter (et proposer une autre preuve pour la réciproque). Pour ma part, je ne connais aucune preuve par équivalences d’un niveau aussi… accessible (la plus simple, de mémoire, utilise l'invariance de l'aire d’un triangle par translation d’un de ses sommets selon une droite parallèle à celle formée par les deux autres… c’est tout dire  !). Sharayanan _(blabla) 25 septembre 2007 à 16:51 (UTC)

Non on ne le construit pas comme tel, on construit juste quatre triangles identiques … C’est presque pareil, mais pas tout à fait. Je pense que si tu utilises l'invariance de l'aire par translation etc., ça ne choquera personne. En effet, il s'agit d’une conséquence immédiate de la formule de l'aire d’un triangle (base par hauteur sur 2), de la définition de la hauteur, et de la distance entre deux droites parallèles … En gros, c’est sans doute du niveau 5^e. J'attends ta démonstration - je ne la retrouve pas … Grimlock 26 septembre 2007 à 13:26 (UTC)