Dispersion des ondes/Paquets d'ondes

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Vitesse de phase

Intéressons-nous tout d’abord à une onde plane progressive monochromatique de pulsation ω se propageant suivant le sens et la direction d'un vecteur ${\vec {u}}$. Au point repéré par le vecteur position ${\vec {r}}$ et à l'instant t, son amplitude est de la forme:

$${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{0}e^{j(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}$$

Intéressons-nous au terme de phase. Il est de la forme:

$$\varphi =\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}$$

où ${\vec {k}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\vec {u}}$ représente le vecteur d'onde. Le nombre d'onde $k$ est la norme du vecteur d'onde, soit:

$$k=\Vert {\vec {k}}\Vert ={\frac {2\pi }{\lambda }}\Vert {\vec {u}}\Vert$$

Pour simplifier les notations, on considérera dans tout le reste de ce chapitre la propagation unidimensionnelle suivant l'axe ${\vec {x}}$ vers les x positifs. Le terme de phase devient alors $\varphi =\omega t-kx$, et l'amplitude de l'onde devient ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{0}e^{j(\omega t-kx)}$

Vitesse de phase

La vitesse de phase est définie comme la vitesse de propagation des surfaces équiphase de l'onde progressive. Elle est notée $v_{\varphi }$.

Pour calculer cette vitesse de phase, on va tenir le petit raisonnement suivant :

• Une surface équiphase vérifie $\varphi ={\rm {cste}}$
• Dans le cas d'une propagation suivant $x$, la vitesse de cette surface équiphase vérifie:

$${\rm {d}}\varphi =0\Longleftrightarrow {\rm {d}}(\omega t-kx)=0=\omega \,{\rm {d}}t-k\,{\rm {d}}t-kx$$

$${\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}t}}={\frac {\omega }{k}}$$

Vitesse de phase $v_{\varphi }={\frac {\omega }{k}}$

Dans ce cas d'une onde plane monochromatique, on retombe bien sur la relation démontrée et utilisée en acoustique ou en électromagnétisme. La vitesse de phase est alors aussi la vitesse de propagation de l'onde plane (voir animation ci-contre).

Paquet d'ondes

Si les ondes planes monochromatiques sont un sujet d'étude « facile » dans le sens où on peut rapidement en déduire de nombreuses propriétés, elles ne permettent malheureusement pas de rendre compte fidèlement des phénomènes réels. En effet, le modèle de l'onde plane mathématique monochromatique la représente comme une onde d'étendue infinie dans l'espace et dans le temps. Ce modèle n'est donc pas satisfaisant.

Dans la réalité, les ondes sont émises par « trains d'ondes » ou « paquets d'ondes ». Par exemple, un atome excité qui réduit son énergie en faisant passer l'un de ses électrons à un niveau d'énergie inférieur émet une onde électromagnétique, qui est bien sûr finie dans le temps (environ $\scriptstyle 10^{-9}\,{\rm {s}}$) et dans l'espace.

C'est là qu'intervient la théorie de Fourier : tout train d'ondes peut s'écrire comme combinaison linéaire d'ondes planes progressives monochromatiques de pulsations ω différentes, donc de nombres d'onde k différents.

→ Pour plus de détails sur la transformée de Fourier et ses applications, se reporter au cours Série et transformée de Fourier en physique

Un train d'ondes peut donc s'écrire sous la forme d'intégrale de Fourier :

$${\mathcal {A}}(x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {\mathcal {A}}}(k)e^{j(\omega t-kx)}\,{\rm {d}}k$$

Influence de la propagation

Calcul

C'est là que les choses se compliquent. Dans la plupart des milieux matériels, la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dépend de la fréquence. En d'autres termes, on peut écrire ω comme une fonction de k.

On suppose également que l'onde est « quasiment monochromatique » autour d'un nombre d'onde $k_{0}$, de sorte qu'on puisse avec une bonne approximation faire un calcul à l’ordre 1 :

$\omega (k)=\omega (k_{0})+(k-k_{0})\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}$

Remarque : Cette dernière considération peut se justifier par le principe d'incertitude de Heisenberg, qui relie l'extension spatiale du paquet d'onde à l'extension du spectre du paquet d'ondes dans l'espace des vecteurs d'onde.

En notant $\omega (k_{0})=\omega _{0}$

${\begin{aligned}{\mathcal {A}}(x,t)&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {\mathcal {A}}}(k)e^{j(\omega t-kx)}\,{\rm {d}}k\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {\mathcal {A}}}(k)\exp \left[j\left(\omega _{0}t+(k-k_{0})\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}t-kx\right)\right]\,{\rm {d}}k\\&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {\mathcal {A}}}(k)\exp \left[j\left(\omega _{0}t-x(k-k_{0})-k_{0}x+(k-k_{0})\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}t\right)\right]\,{\rm {d}}k\\&=e^{j(\omega _{0}t-k_{0}x)}\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {\mathcal {A}}}(k)\exp \left[j(k-k_{0})\left(\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}t-x\right)\right]\,{\rm {d}}k\\\end{aligned}}$

On pose ${\mathcal {E}}(x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {\mathcal {A}}}(k)\exp \left[j(k-k_{0})\left(\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}t-x\right)\right]\,{\rm {d}}k$

D'où l’expression finale :

${\mathcal {A}}(x,t)={\mathcal {E}}(x,t)e^{j(\omega _{0}t-k_{0}x)}$

Interprétation

${\mathcal {E}}$ représente la forme du paquet d'ondes dans le temps et dans l'espace.

En effet, dans son expression, on a une dépendance entre x et t : ${\mathcal {E}}(x,t)={\mathcal {E}}\left(\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}t-x\right)$. On assiste donc à un phénomène de propagation de l'enveloppe de l'onde à la vitesse $\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}$

Vitesse de groupe

On appelle vitesse de groupe la grandeur $v_{g}=\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}$

La vitesse de groupe représente la vitesse de propagation du paquet d'ondes, ou encore de l'énergie.

Vitesse de groupe et vitesse de phase

On remarque alors que, a priori, dans le cas général, il n'y a aucune raison pour que $v_{\varphi }=v_{g}$.

Début d’un principe

Vitesse de phase et vitesse de groupe

• La vitesse de phase $v_{\varphi }$ est liée à la propagation de la phase de l'onde, donc au vecteur d'onde ${\vec {k}}$.
• La vitesse de groupe $v_{g}$ représente la propagation de l'énergie d'un paquet d'ondes, et est donc à mettre en parallèle avec le vecteur de Poynting ${\vec {\Pi }}$.

Fin du principe

L'animation ci-dessous illustre l'influence de la différence de vitesse de propagation des ondes de fréquences différentes sur l'allure de la vibration propagée.

On y retrouve bien une structure en paquets d'ondes. Ces paquets d'ondes se déplacent à une certaine vitesse (la vitesse de groupe $v_{g}$) tandis que la phase de la vibration se déplace à une autre vitesse (la vitesse de phase $v_{\varphi }$). L'animation ci-dessous met en évidence la différence entre ces deux vitesses :

• Les points verts se déplacent à la vitesse de groupe $v_{g}$
• Les points rouges se déplacent à la vitesse de phase $v_{\varphi }$

La distinction est importante à faire et sera développée dans d'autres cours, qui parfois tirent avantageusement parti, parfois subissent les différences entre ces deux grandeurs, causées par la dispersion.

Dispersion des milieux

Milieu non dispersif

On appelle milieu non dispersif un milieu dans lequel toutes les ondes se propagent à la même vitesse, quelle que soit leur fréquence.

Dans un tel milieu, il n'y a pas de dispersion et $v_{\varphi }=v_{g}$.

En effet, dans un milieu non dispersif, $\omega =kv_{\varphi }$ et $v_{g}={\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}=v_{\varphi }$.

Milieu non dispersif $v_{\varphi }=v_{g}$	Milieu dispersif $v_{\varphi }\not =v_{g}$

Cas des signaux de grande étendue spectrale

On a fait dans ce dernier paragraphe l'hypothèse d'une onde quasiment monochromatique, ce qui n'est souvent pas suffisant dans la réalité. Dans un milieu dispersif où toutes les fréquences ne se propagent pas à la même vitesse, une plus grande étendue spectrale amène à une plus grande déformation du paquet d'ondes sur de grandes distances, posant le problème de la reconstitution du signal initial à la réception.

La problématique de la transmission des ondes électromagnétiques dans des milieux dispersifs est fondamentale dans les applications d'aujourd'hui, notamment car un guide d'ondes se comporte comme un milieu dispersif.

→ Toutes ces considérations seront approfondies dans le cours sur les ondes électromagnétiques guidées.