Dualité/Définitions

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Il n’est pas possible de donner une définition rigoureuse et universelle de la dualité. Elle apparait comme un lien fort entre deux objets différents mais de même nature, comme par exemple entre un cube et un octaèdre. Néanmoins, on peut la définir dans des cas précis, dans des contextes donnés.

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Deux objets liés par une relation de dualité ont des propriétés liées, les théorèmes s'appliquant sur l'un ayant un équivalent pour l'autre, et les preuves présentant parfois certaines ressemblances.

Dualité en algèbre linéaire

Rappels

• On note $\operatorname {L} \left(E,F\right)$ le K-espace vectoriel des applications linéaires de $E$ dans $F$, pour $E$ et $F$ deux K-espaces vectoriels.
• Une forme linéaire sur $E$ est un élément de $\operatorname {L} \left(E,K\right)$, c'est-à-dire une application linéaire de $E$ dans $K$.

Définition : espace dual

On appelle espace dual de $E$ l'espace, noté $E^{*}$, des formes linéaires de $E$ :

$E^{*}=\operatorname {L} \left(E,K\right)$.

E est appelé espace primal de E*.

Lorsque $\varphi$ est un élément de l'espace dual et x un élément de l'espace primal, on utilise parfois la notation du crochet de dualité :

$\langle \varphi ,x\rangle =\varphi \left(x\right)$.

Dualité en géométrie de l'espace

Dual d'un cube : un octaèdre.

Dual d'un polyèdre

Soit P un polyèdre. Le polyèdre dual de P est le polyèdre dont les sommets sont les centres de faces de P.

Dualité en géométrie projective

Plan projectif

Rappelons qu'en géométrie projective, il n'existe que deux objets : les droites et les points. Seules comptent la quantité de l'un et l'autre et les relations d'appartenance (quel point est sur quelle droite / quelle droite passe par quel point). Ces données forment un plan projectif.

Il existe alors une notion de dualité naturelle :

Dualité projective

Soit un plan projectif P. On obtient un autre plan projectif, P*, lorsque les droites de P sont les points de P* et que les points de P sont les droites de P*, c'est-à-dire en inversant droite et point.

Le plan projectif P* est le plan dual de P.