Application linéaire/Définitions
Soient et deux -espaces vectoriels.
Définitions
modifierApplication linéaire
modifierUne application est dite linéaire si elle vérifie (pour tous vecteurs et de et tout scalaire ) :
ou encore, si elle vérifie :
L'ensemble des applications linéaires de E dans F (aussi appelées homomorphismes ou morphismes de E vers F) est noté .
On suppose dans cet exemple que (l'espace vectoriel des applications d'un ensemble fixé dans ) et que .
Alors, l'application
est linéaire. En effet :
Applications linéaires particulières
modifierOn appelle :
- endomorphisme de E toute application linéaire de E dans E ;
- isomorphisme de E vers F toute bijection linéaire de E dans F ;
- automorphisme de E tout endomorphisme bijectif de E, ou encore, tout isomorphisme de E dans E.
- forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K.
- L'ensemble L(E, E) des endomorphismes de E se note plus simplement L(E).
- L'ensemble des automorphismes de E s’appelle le groupe linéaire de E et se note GL(E).
- L'ensemble L(E, K) des formes linéaires sur E se note plus simplement E* et porte le nom de dual de E. ( Voir le cours sur la dualité pour une étude plus détaillée.)
Soit . L'application
est linéaire car
.
C'est donc un endomorphisme de E, appelé « homothétie de rapport k ». Si de plus k ≠ 0, h est un automorphisme de E.
On suppose dans cet exemple et , muni de son produit scalaire canonique.
Soit . Alors, l'application
est linéaire. En effet :
.
De plus, p est à valeurs dans . C'est donc une forme linéaire sur E.
Image, noyau
modifierDéfinitions
modifierSoit . On appelle :
- image de u l’ensemble , noté Im(u).
- noyau de u l’ensemble , noté Ker(u).
On suppose à nouveau et , muni d'une base orthonormée , et l'on considère l'application linéaire
- Son noyau est l’hyperplan des vecteurs orthogonaux à , c'est-à-dire .
- Son image est .
Propriétés
modifierSoit .
- L'image réciproque par u d'un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E ;
- L'image directe par u d'un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F.
Remarquons d'abord que (puisque est un morphisme de groupes de dans , ou encore, puisque , où est un vecteur auxiliaire arbitraire).
- Soient un sous-espace vectoriel de et .
- donc .
- Soit . Alors, donc donc .
- Soient un sous-espace vectoriel de et .
- et donc .
- Soit . Il existe tels que et . Alors, donc .