Dualité/Exercices/Propriétés

Propriétés
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Exercices no1
Leçon : Dualité
Chapitre du cours : Propriétés

Exercices de niveau 15.

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Dualité/Exercices/Propriétés
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Exercice 1Modifier

Sur l'espace vectoriel E des suites réelles convergentes, soit   la famille de formes linéaires définie par   si   et  .

  1. Vérifier que cette famille est libre.
  2. Donner un exemple de famille   de réels telle qu'il n'existe aucune suite   vérifiant  .

Exercice 2Modifier

  1. Montrer (par récurrence sur  ) que si   est une famille libre finie de formes (linéaires) sur un K-espace vectoriel E, il existe des vecteurs   tels que   (autrement dit : l'application linéaire   est surjective).
  2. Retrouver ainsi (cf. Application linéaire/Exercices/Rang#Exercice 3-2) qu'une forme est combinaison linéaire d'un ensemble fini de formes données si (et seulement si) son noyau contient l'intersection des leurs.

Exercice 3Modifier

1. Montrer que les trois vecteurs  ,   et   forment une base de   et trouver la base duale.

2. Soient   un  -espace vectoriel de dimension 3 et   une base de   et   la base duale de  . Soient

 .

Montrer que   est une base de   et déterminer sa base préduale, c.-à-d. la base   de   dont elle est la base duale.

3. Sur  , on considère les cinq formes linéaires  ,  ,  ,   et   définies par :

  (pour tout  ).
  1. Montrer que   est une base de   et déterminer sa base préduale  .
  2. Déterminer les coordonnées de   dans la base  .

Exercice 4Modifier

Soient   et pour tout   et  ,  .

  1. Justifier que pour tout  ,   est une forme linéaire sur  .
  2. Montrer que la famille   est la base duale de la base canonique de  .