Application linéaire/Exercices/Rang

Exercice 3-1

Soient $A\in {\mathcal {M}}_{3,2}(\mathbb {R} )$ et $B\in {\mathcal {M}}_{2,3}(\mathbb {R} )$ telles que $AB=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\\\end{array}}\right)$. Montrer que $BA=I_{2}$.

Solution

Puisque (faire le calcul) $AB$ est un projecteur de rang 2, $A$ et $B$ sont de rang 2 (donc respectivement injectif et surjectif) et $A(BA)B=AI_{2}B$, donc $BA=I_{2}$.

 

Exercice 3-2

1. Soient $u\in \operatorname {L} (E,F)$ et $w\in \operatorname {L} (E,G)$ tels que $\ker u\subset \ker w$. Montrer qu'il existe $v\in \operatorname {L} (F,G)$ tel que $w=v\circ u$.
2. Soient $\psi ,\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}$ des formes linéaires sur $E$, telles que $\ker \psi$ contient l'intersection des $\ker \varphi _{i}$. Déduire de la question précédente que $\psi$ est une combinaison linéaire des $\varphi _{i}$.

Solution

1. Soit $E_{0}$ un supplémentaire de $\ker u$ dans $E$. Notons $u'$ l'isomorphisme $E_{0}\to \operatorname {im} u,\;x\mapsto u(x)$.
   Soit $F_{0}$ un supplémentaire de $\operatorname {im} u$ dans $F$. Définissons $v\in \operatorname {L} (F,G)$ par ses restrictions à $\operatorname {im} u$ et $F_{0}$ : $v$ nulle sur $F_{0}$ et pour tout $y\in \operatorname {im} u$, $v(y)=w\left({u'}^{-1}(y)\right)$.
   Alors, pour tout $x\in E$, $x=x_{0}+z$ avec $x_{0}\in E_{0}$ et $z\in \ker u\subset \ker w$, en notant $y=u\left(x_{0}\right)$, on a bien : $w\left(x\right)=w\left(x_{0}\right)=v\left(y\right)=v\left(u\left(x\right)\right)$.
2. D'après la question précédente appliquée à $G=K$ (le corps des scalaires), $w=\psi$, $F=K^{n}$ et $u:E\to F,\;x\mapsto \left(\varphi _{1}(x),\dots ,\varphi _{n}(x)\right)$, il existe une forme linéaire $v$ sur $K^{n}$, qui s'écrit donc $v\left(k_{1},\dots ,k_{n}\right)=\sum \lambda _{i}k_{i}$, telle que $\forall x\in E\quad \psi \left(x\right)=v\left(\varphi _{1}(x),\dots ,\varphi _{n}(x)\right)=\sum \lambda _{i}\varphi _{i}\left(x\right)$, c'est-à-dire $\psi =\sum \lambda _{i}\varphi _{i}$.

 

Exercice 3-3

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb {R} ^{3}$ tel que $f\circ f=0$.

1. Montrer que $\operatorname {rang} (f)\leq 1$.
2. En déduire qu'il existe un vecteur $v\in \mathbb {R} ^{3}$ et une forme linéaire $g$ tels que

   $\forall u\in \mathbb {R} ^{3}\quad f(u)=g(u)\,v$.

Solution

1. Soit $r=\operatorname {rang} (f)$. On a $f\circ f=0\Leftrightarrow \operatorname {im} f\subset \ker f\Rightarrow r\leq 3-r$ (d'après le théorème du rang) donc $r\leq \left\lfloor {\frac {3}{2}}\right\rfloor =1$.
2. • Si $r=0$ c'est immédiat (on peut prendre $v=0$ et $g$ quelconque, ou l'inverse).
   • Si $r=1$, soit $v$ un vecteur directeur de $\operatorname {im} f$. L'application $g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ définie par $\forall u\in \mathbb {R} ^{3}\quad f(u)=g(u)\,v$ est linéaire, par linéarité de $f$.