Dynamique/Systèmes du premier et du second ordre

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L’étude que nous allons mener dans ce chapitre est l’étude de systèmes physiques standard, les systèmes du premier et du second ordre. L’idée derrière cette étude est l’idée que deux systèmes physiques radicalement différents peuvent obéir à une loi physique (équation différentielle du mouvement, par exemple) absolument analogue. Nous allons donc cataloguer des situations types, développer un vocabulaire et des résultats sur ces systèmes, que l’étudiant devra pouvoir se ré-approprier lors de l’étude d’autres systèmes physiques.

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Il est important de remarquer que l’étude qui va être menée dépasse de loin le cadre de la mécanique. Des analogies en électrocinétique, en électromagnétisme ou en physique ondulatoire pourraient être effectuées, dans le sens où certains systèmes propres à cette discipline peuvent être vus comme des systèmes du premier ou du second ordre.

Volontairement, l'étude de chaque catégorie de systèmes est divisée en deux parties bien distinctes : une partie phénoménologique, où un exemple précis de système est présenté, et une partie plus mathématisée, où des notions théoriques sont développées.

Système du premier ordre

Définitions et résultats en toute généralité

On appelle système du premier ordre un système dont l'équation différentielle régissant son évolution peut se mettre sous la forme canonique suivante

$$\tau {\dfrac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}+s(t)=e(t)$$

avec $e(t)$ une fonction quelconque, appelée en générale excitation du système, et $s(t)$ la fonction régissant l'évolution du système. $\tau$ est une constante caractéristique du problème, homogène à un temps et que l'on appelle constante de temps.

La résolution de cette équation différentielle dépend fortement de l'excitation, puisque, pour rappel, la solution de cette équation est la somme de la solution de l'équation homogène associée et d'une solution particulière, qui est du même type que l'excitation (si l'excitation est constante, la solution particulière le sera également, si l'excitation est sinusoïdale, la solution particulière le sera également, etc). Aussi faudrait-il, pour mener une étude exhaustive, étudier chaque excitation possible, soit une infinité. Dans ce cours, on mènera uniquement l'étude sur une entrée constante, car cela correspond à une très vaste majorité des situations rencontrées en physique.

Notion de régime transitoire et de régime établi

On rappelle que la solution générale de l'équation homogène associée à cette équation est la fonction $s_{g}(t)=A\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)$, avec $A$ une constante qui doit être déterminée grâce aux conditions initiales.

La solution complète de l'équation s'écrit donc $s(t)=A\exp \left(-{\frac {t}{\tau }}\right)+s_{part}(t)$ où $s_{part}(t)$ est la solution particulière de l'équation différentielle, du même type que l'entrée. Quand $t\rightarrow +\infty$, $A\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\rightarrow 0$, et donc $s(t)\sim s_{part}(t)$. En pratique, l'exponentielle décroissant très vite, on pourra considérer à partir d'un certain temps fini que l'influence de $A\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)$ ne se fait plus ressentir dans l'évolution.

On appelle alors régime transitoire la durée pendant laquelle l'influence de $A\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)$ se fait ressentir. On appelle régime établi la durée pendant l'influence de $A\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)$ ne se fait plus ressentir (le régime établi suit donc le régime transitoire).

Il convient d'insister sur un fait : en toute rigueur mathématique, le terme $A\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)$ ne s'annule qu'en l'infini, et donc son influence se fait constamment ressentir : le régime transitoire est donc infini. Cependant, quand le terme $A\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)$ devient trop faible pour être mesurable par les appareils de mesure dont on dispose, on pourra considérer que le régime établi est atteint.

Entrée constante

Dans le cas où l'entrée est constante, l'équation différentielle devient alors

$$\tau {\dfrac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}+s(t)=K$$

La solution particulière est alors la fonction constante égale à $K$.

La solution complète de l'équation est alors de la forme $s(t)=K+A\exp(-{\frac {t}{\tau }})$, avec $A$ une constante qui doit être déterminée grâce aux conditions initiales. Dans le cas très fréquent où $s(0)=0$, alors on a $0=K+A$ (en évaluant la sortie en 0) et donc $A=-K$. On a donc $s(t)=K\left(1-\exp \left(-{\frac {t}{\tau }}\right)\right)$

On remarque que $s(+\infty )=K$. Cela signifie donc qu'au régime établi, le système n'évolue plus. On peut chercher à déterminer combien de temps dure le régime transitoire. Mathématiquement, sa durée est infinie. Cependant, on peut chercher à connaître le temps de réponse à 99%, qui est le temps nécessaire au système pour atteindre 99% de sa valeur en régime établi. Résolvons donc l'équation $K\left(1-\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\right)=0,99K$ soit $1-\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)=0.99$ soit $0.01=\exp \left({\frac {-t}{\tau }}\right)$ soit $t=-ln(0.01)\tau \approx 5\tau$

On retient donc que le temps de réponse à 99% est égal à 5 fois la constante de temps du système.

Système du second ordre

Un exemple d'oscillateur harmonique : système masse-ressort sans frottements

On considère un système constitué d'un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $l_{0}$ dont l'une de ses extrémités est situé à un bâti immobile et dont, à l'autre extrémité, est accrochée une masse ponctuelle $M(m)$. On considère que le mouvement est rectiligne, et on néglige tout type de frottements. On a alors

$\sum {\mathbf {F} }=\mathbf {P} +\mathbf {R} -kx$ où $x(t)$ est l'écart entre la position de la masse à l'instant $t$ considéré et celle de la masse à l'équilibre. Cependant, nous avons supposé que le mouvement était rectiligne, et nous avons donc $\mathbf {P} +\mathbf {R} =\mathbf {0}$. Ainsi, en appliquant la deuxième loi de Newton et en projetant sur l'unique axe du système, on trouve

$${\ddot {x}}+{\dfrac {k}{m}}x=0$$

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre.

Un exemple de système du second ordre réel : système masse-ressort avec frottements linéaires

On considère un système constitué d'un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $l_{0}$ dont l'une de ses extrémités est situé à un bâti immobile et dont, à l'autre extrémité, est accrochée une masse ponctuelle $M(m)$. On considère que le mouvement est rectiligne, et on postule des frottements linéaires, c'est-à-dire que $\mathbf {F} _{frot}=-\alpha \mathbf {v}$. On a alors*

$\sum {\mathbf {F} }=\mathbf {P} +\mathbf {R} -kx\mathbf {e} _{x}-\alpha v(t)\mathbf {e} _{x}$ où $x(t)$ est l'écart entre la position de la masse à l'instant $t$ considéré et celle de la masse à l'équilibre. Cependant, nous avons supposé que le mouvement était rectiligne, et nous avons donc $\mathbf {P} +\mathbf {R} =\mathbf {0}$. Ainsi, en appliquant la deuxième loi de Newton et en projetant sur l'unique axe du système, on trouve

$${\ddot {x}}+{\dfrac {\alpha }{m}}{\dot {x}}+{\dfrac {k}{m}}x=0$$

Résultats en toute généralité

On appelle système du second ordre tout système dont l'évolution est régie par l'équation différentielle suivante :

$${\dfrac {{\text{d}}^{2}s(t)}{{\text{d}}t^{2}}}+2\xi {\dfrac {{\text{d}}s(t)}{{\text{d}}t}}+\omega _{0}^{2}s(t)=e(t)$$

Pour résoudre cette équation différentielle, nous devons d'abord déterminer la solution particulière. Dans le cas d'une entrée constante égale à $K$, on montre aisément que la solution particulière est $K\omega _{0}^{2}$. Il faut ensuite déterminer la solution générale de l'équation homogène associée, et pour ce faire nous devons étudier son polynôme caractéristique et en déterminer les racines. Ce polynôme est $x^{2}+2\xi x+\omega _{0}^{2}=0$.

Calculons son discriminant. On a $\Delta =4\xi ^{2}-4\omega _{0}^{2}=4(\xi ^{2}-\omega _{0}^{2})$.

Premier cas : Régime apériodique

Si $\Delta >0$, c'est-à-dire si $\xi >\omega _{0}$, le polynôme caractéristique admet deux racines distinctes que l'on note $r_{1}$ et $r_{2}$ et la solution générale de l'équation homogène associée est alors

$$s_{g}(t)=Ae^{r_{1}t}+Be^{r_{2}t}$$

La solution complète est alors

$$s_{g}(t)=K\omega _{0}^{2}+Ae^{r_{1}t}+Be^{r_{2}t}$$

On parle alors dans cette situation de régime apériodique

Deuxième cas : Régime critique

Si $\Delta =0$, c'est-à-dire si $\xi =\omega _{0}$, le polynôme caractéristique admet une seule racine double que l'on note $r_{0}$ et la solution générale de l'équation homogène associée est alors

$$s_{g}(t)=(At+B)e^{r_{0}t}$$

La solution complète est alors

$$s_{g}(t)=K\omega _{0}^{2}+(At+B)e^{r_{0}t}$$

On parle alors dans cette situation de régime critique. Le régime critique est un cas limite du régime apériodique.

Troisième cas : Régime pseudo-périodique

Si $\Delta <0$, c'est-à-dire si $\xi <\omega _{0}$, le polynôme caractéristique admet deux racines complexes conjuguées $\alpha \pm i\beta$ et la solution générale de l'équation homogène associée est alors

$$s_{g}(t)=(A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t))e^{\alpha t}$$

Un cas particulier très important : l'oscillateur harmonique

On appelle oscillateur harmonique tout système dont l'évolution est régie par l'équation différentielle suivante :

$${\dfrac {{\text{d}}^{2}s}{{\text{d}}t^{2}}}+\omega _{0}^{2}s(t)=K$$

La solution de cette équation peut alors s'écrire sous la forme $s(t)=K+A\cos(\omega _{0}t)+B\sin(\omega _{0}t)$ ou sous la forme $s(t)=K+A\cos(\omega _{0}t+\varphi )$ et $\omega _{0}$ est alors appelé pulsation propre du système et dans le Système International cette pulsation se mesure en ${\text{rad.s}}^{-1}$ ou, de façon équivalente, en ${\text{s}}^{-1}$

Le système est alors périodique, de période ${\frac {2\pi }{\omega _{0}}}$. En effet, $s\left(t+{\frac {2\pi }{\omega _{0}}}\right)=A\cos \left(\omega _{0}\left(t+{\frac {2\pi }{\omega _{0}}}\right)\right)+B\sin \left(\omega _{0}\left(t+{\frac {2\pi }{\omega _{0}}}\right)\right)=A\cos \left(\omega _{0}t+2\pi \right)+B\sin \left(\omega _{0}t+2\pi \right)=A\cos(\omega _{0}t)+B\sin(\omega _{0}t)=s(t)$

L'oscillateur harmonique est une idéalisation des systèmes du second ordre réels.

Dans le cas d'un oscillateur harmonique mécanique, on peut montrer deux choses :

• l'énergie mécanique du système est constante
• il y a équipartition en moyenne de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle, $<E_{p}>=<E_{\mathcal {K}}>$ où la valeur moyenne d'une fonction $f$ périodique de période $T$ est définie par $<f>={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{f(t){\text{d}}t}$