1. Calcul de
On a une conservation de la masse, donc une conservation du débit volumique car le fluide est incompressible.
On a donc :
avec
vitesse aux points 1 et 2 respectivement, et
aire des section aux points 1 et 2.
Soit
la longueur du canal, on a donc :
![{\displaystyle v_{1}Lh=v_{2}lL}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90b0811441169481acb05e5fd842545a92f3f0c)
et
![{\displaystyle l={hv_{1} \over v_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ed2eaaea9b0c33b364b2328b6297b539937ced)
Il faut déterminer
, pour cela on utilise la formule de Bernouilli sur une ligne de courant au fond du canal. On a alors :
Avec
pression au fond du canal.
On a donc :
![{\displaystyle v_{2}^{2}=2g(h-l)+v_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a553f171bdc388253ebbb883ce6a29001b51a2a)
On a donc le système suivant a résoudre :
![{\displaystyle {\begin{cases}v_{1}h=v_{2}l\\v_{2}^{2}=2g(h-l)+v_{1}^{2}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58e2adda13ff2fc50e2cad7dd75f664f06d82c6)
![{\displaystyle {\begin{cases}v_{1}h=v_{2}l\\v_{2}=v_{1}{h \over l}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e5919148c172b1125a9f0a5120c876ff0bd210)
![{\displaystyle {\begin{cases}v_{1}^{2}{h \over l}^{2}=2g(h-l)-v_{1}^{2}\\v_{2}=v_{1}{h \over l}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a971967f937ad205c2857ab0f8f3ead2bad6b91)
![{\displaystyle v_{1}^{2}(h+l)=2gl^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d91b0ece929d7f73572973091c3992a32427ea5)
![{\displaystyle 2gl^{2}-v_{1}^{2}l-v_{1}^{2}h=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ff78107e2c7af8fc14d70edac0d92aa701d163)
![{\displaystyle l={v_{1}^{2}\pm {\sqrt {v_{1}^{4}+8gv_{1}^{2}h}} \over 4g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4e9834d439ad6db95679bd13226ba03576d1da)
Et
![{\displaystyle l>0\rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275911c38f81268f4ebca1ad90bc6545b14824de)
![{\displaystyle l={v_{1}^{2}+{\sqrt {v_{1}^{2}(v_{1}^{2}+8gh)}} \over 4g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3d789780f52972aefb855eec25519545bcb9a6)
![{\displaystyle l={v_{1}^{2}+v_{1}{\sqrt {v_{1}^{2}+8gh}} \over 4g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01aff043cc812e588769b985966e579fc8e3b55e)
En application numérique, on trouve :
![{\displaystyle l=22,9cm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9591340af23c0b7c59c427452e73bada5feed999)
et
2. On représente sur le schéma suivant la force exercée par la vanne sur le fluide, ainsi que les autres forces environnante ( pour le bilan de force) :
On projète alors sur l’axe x de l’équation d’Euler :
![{\displaystyle Q_{m}(v_{2}-v_{1})=F_{1}-F_{2}+F-P_{a}tm(A_{1}-A_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1480b0d0e8b90e731eb40ec51d2f0325e079ccc)
![{\displaystyle Q_{m}=(v_{1}A_{1})l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e74fb9e4e144c1804733d0125cd9f7291abab69)
On a donc :
![{\displaystyle F_{1}={\rho gh^{2} \over 2}L+P_{a}tmA_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fac67ef990bd0991876f8c5be445d424e3136d)
![{\displaystyle F_{2}={\rho gl^{2} \over 2}L+P_{a}tmA_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5beed0a141abe5bc2dddeffd7f894f045af4d0d4)
![{\displaystyle F=Q_{m}(v_{2}-v_{1})+F_{2}-F_{1}+P_{a}tm(A_{1}-A_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50c1b5a3ea37370b274c43a1227ec2ea8eaed95)
![{\displaystyle F=v_{1}A_{1}\rho (v_{2}-v_{1})+{\rho gL \over 2}(l^{2}-h^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1fe4f88f911702d57517473a65fb4bd9f02912)
![{\displaystyle {F \over L}=v_{1}h\rho (v_{2}-v_{1})+{\rho g \over 2}(l^{2}-h^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231272ce59ff21af4e17e8669575513885f71489)
Application numérique :
On trouve