Dynamique des fluides parfaits/Exercices/Clepsydre
La clepsydre (du grec ancien κλεψύδρα) était utilisée dès le 2e siècle avant Jésus-Christ. Cet instrument comporte une cuve fixe contenant de l'eau et percée d'un petit orifice d'aire A0 sur le fond avec un coefficient de débit CD. L'eau qui s'écoule par l'orifice est recueillie dans un collecteur mobile d'aire A1 suspendu à deux flotteurs cylindriques plongeant dans la cuve. Le débit dans l'orifice étant faible, l'équipage mobile se déplacera lentement et on pourra négliger son inertie.
- Démontrer mathématiquement que le niveau h de l'eau dans la cuve reste constant au cours du temps tant que les flotteurs n'ont pas atteint le fond de la cuve.
- Quelle relation peut-on utiliser pour la vitesse du fluide à l'orifice A0 ? En déduire que le débit par l'orifice est constant et calculer la hauteur à laquelle s'élève le niveau h1 dans le collecteur en 30 minutes. À quoi pouvait servir la clepsydre ?
- Si les flotteurs sont enfoncés initialement de 2 cm dans l'eau et si leur section est A = 75 cm2, pendant combien de temps le débit restera-t-il constant ? Que fera-t-il ensuite ?
- AN : h = 6 cm, CD = 0,5, A0 = 0,1 mm2, A1 = 150 cm2
1. Soit Af la surface de la cuve fixe. Le volume Vf d'eau contenu dans la cuve fixe est :
La masse du volume d'eau déplacée par les flotteurs est :
La poussée d'Archimède s'applique car on néglige l'inertie du système, on peut donc considérer le système en équilibre.
On a donc M = masse de l'équipage mobile.
L'équipage mobile a pour masse :
En différenciant les deux équations vues ci-dessus, on obtient :
- ou bien
- est aussi la variation du volume de liquide dans la cuve mobile.
On a un écoulement incompressible, on a donc conservation du débit volumique; on peut donc écrire :
Donc h est constante. |
2. La loi de Torichelli :
- , avec V0 vitesse du liquide a l'orifice.
Si h est constante par rapport au temps, V0 est aussi constant par rapport au temps.
On a donc :
- aussi constant (cf. définition du coefficient de débit vu dans le cours)
d'où :
|
3. Le débit est constant tant que les flotteurs ne touchent pas le fond, c'est-à-dire pour :
En reprenant 1., on avait :
d'où :
- pour
|
Quand le flotteur atteint le fond, h n'est plus constant et V non plus.
Avec on a :
h diminue, V diminue et Q diminue.