Dynamique des fluides parfaits/Exercices/Véhicule à coussin d'air

On veut construire un véhicule à coussin d'air de forme circulaire et de rayon R. Le rotor aspire l'air ambiant et le comprime à la pression P0 supposée uniforme sous le carter. À l'équilibre le débit aspiré par le rotor est égal à celui qui s'échappe sous la jupe du véhicule située à une hauteur h au-dessus du sol, et le poids W du véhicule est supporté par la pression régnant sous le carter.

Schéma du problème

1. Montrer que la vitesse de l’air sous le carter est négligeable devant la vitesse de l’air qui s’échappe sous la jupe et calculer le débit Q aspiré par le rotor en fonction de W, R, h, de la pression atmosphérique et de la masse volumique de l’air.

2. La puissance fournie par le rotor étant de P et le rendement du rotor étant de 0,7, calculer la garde au sol h.

3. Étudier la stabilité verticale du véhicule : comment évolue les forces de pression si h change pour Q constant ?

Données pour l'analyse numérique :

• AN : W = 12 000 N
• R = 1,5 m
• P = 50 kW

Solution

1. On néglige toutes les pertes de charge dues à l'écoulement, on a alors l'équilibre :

$P_{0}-P_{a}tm={W \over \pi R^{2}}$

L'équation de Bernouilli donne, entre 0 et 2 :

$P_{0}+{1 \over 2}\rho V_{0}^{2}=P_{a}+{1 \over 2}\rho V_{2}^{2}$

Avec la convention suivante :

Convention

On suppose que $V_{0}<<V_{2}\,$

Et on a alors :

$P_{0}-P_{a}tm={1 \over 2}\rho V_{2}^{2}\Rightarrow V_{2}^{2}={2(P_{0}-P_{a}tm) \over \rho }={2W \over \rho \pi R^{2}}$

La conservation du débit donne alors :

$Q=2\pi RhV_{2}$

On a alors :

$Q=2\pi Rh{\sqrt {2W \over \rho \pi R^{2}}}$

On a finalement :

$Q=h{\sqrt {8\pi W \over \rho }}$

2. Si on néglige les effets visqueux, on a $P_{u}=Q\Delta P$, avec $P_{u}$ la puissance utile.

On a $P_{u}=0,7P$

On a donc :

$Q={P_{u} \over \delta P}={0,7P \over P_{0}-P_{a}tm}$

Avec $P_{0}-P_{a}tm={W \over \pi R^{2}}$

On a donc :

$Q={0,7P\pi R^{2} \over W}$ et $h={Q \over {\sqrt {8\pi W \over \rho }}}={0,7P\pi R^{2} \over W{\sqrt {8\pi W \over \rho }}}$

D'où

$h={0,7PR^{2}{\sqrt {\pi }}\rho \over {\sqrt {8}}W^{3 \over 2}}$

En application numérique, on trouve :

$h=4,27cm$ et $Q=20,6m^{3}s^{-1}$

3. On a $Q^{2}=h^{2}{8\pi W \over \rho }\rightarrow W={K \over h^{2}}=F_{p}$, avec $F_{p}$ force de pression, et $K=cte$ car $Q=cte$.

Si h augmente, alors $F_{p}$ diminue, et donc h diminue, et inversement. On en conclue qu’il y a stabilité du système.