Dynamique des fluides parfaits/Exercices/Souffler dans une bobine

On place une bobine de fil au dessus d'une plaque de carton léger de masse M et on souffle avec un débit Q dans le puits central de la bobine. On constate que le carton est aspiré vers la bobine et demeure en équilibre statique à une distance h de celle-ci.

Bobine — schéma

1. Montrer que la vitesse u de l'air à une distance r de l'axe pour r [ [R1,R2] obéit à la relation

2. Montrer que la distribution de pression entre le carton et la bobine à la forme ci-dessous et tracer son profil.

3. Calculer la distance h nécessaire pour que le carton reste en équilibre. Ce phénomène est-il stable ? Pourquoi ?

AN : M = 2 g, R1 = 0,5 cm, R2 = 2,5 cm, Q = 400 cm3 s-1

Solution

1. On considère l'air comme un fluide parfait, et la viscosité de l'air est considéré comme très faible. Les forces de pression sont donc aussi considérées comme faible, et l'air est dit incompressible.

S'il n'y a pas d'accélération du carton, qui reste collé a la bobine, alors le système est considéré comme en équilibre.

2. On a une conservation du débit Q.

Q est connu a l'entrée du système, et on peut écrire :

$Q=\int _{S}^{.}{\vec {U}}.{\vec {n}}\,\mathrm {d} S$

On suppose que l'écoulement est radial :

$\rightarrow u(r)$ seulement dans la direction de ${\vec {r}}$

$Q=2\pi ru(r)h\rightarrow u(r)={Q \over {2\pi h}}{1 \over r}$

3. On applique le théorème de bernouilli le long d'une ligne de courant, l'écoulement est stationnaire :

$P+\rho gz+{1 \over 2}\rho u^{2}=cte$

Pour $R=R2,u(r)=u(R2)etP=Patm$

$P+{1 \over 2}\rho u^{2}=Patm+{1 \over 2}\rho u^{2}(R2)$

z = cte sur une ligne de courant, on a donc :

$P=Patm+{1 \over 2}\rho u^{2}(R2)-{1 \over 2}\rho u^{2}$

$P=Patm+{1 \over 2}\rho (u^{2}(R2)-u^{2}(r))$

Si on reprends la formule précédente du débit, on obtient :

$P(r)-Patm={\rho Q^{2} \over 8\pi ^{2}h^{2}}({1 \over R2^{2}}-{1 \over r^{2}})$

graphiquement, on obtient :

bobine graphique

4. Carton en équilibre

On a une force F due a la résultante de pression sur le carton, du fait que le système soit en équilibre ( somme des forces nulle).

La force F est la masse du carton.

On a :

$F=-\iint \mathrm {d} P=-2\pi \int _{R_{1}}^{R_{2}}(P(r)-Patm)r\,\mathrm {d} r$

$F={-\rho Q^{2} \over 4\pi h^{2}}\int _{R_{1}}^{R_{2}}({r \over R_{2}^{2}}-{1 \over r^{2}})\,\mathrm {d} r$

$F={-\rho Q^{2} \over 4\pi h^{2}}\{[{r^{2} \over 2r_{2}^{2}}]-[lnr]\}$

$F={-\rho Q^{2} \over 4\pi h^{2}}\{{R_{2}^{2}-R_{1}^{2} \over 2R_{2}^{2}}-ln{R_{2} \over R_{1}}\}$

$F={\rho Q^{2} \over 8\pi h^{2}}({R_{1}^{2} \over R_{2}^{2}}+2ln{R_{2} \over R_{1}}-1)$

et on a :

$F=mg$

$h^{2}={\rho Q^{2} \over 8\pi Mg}({R_{1}^{2} \over R_{2}^{2}}+2ln{R_{2} \over R_{1}}-1)$

en application numérique, on trouve :

$h=0,97mm$

5. Stabilité du phénomène

La force de pression F sur le carton est supérieure a 0.

$F={K \over h^{2}},dF={-2K \over h^{3}}dh$

$dh>0\rightarrow dF<0$

Donc quand h augmente, F diminue, et le carton tombe.

On est donc dans un phénomène d'instabilité.

Remarque : on a négligé les forces de pression du centre. De plus, h est très petit et les effets visqueux on un effet non négligeable dans cet ordre de grandeur.