Ensemble (mathématiques)/Produit

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Formellement, le couple $(x,y)$ peut être défini ainsi : si $x$ et $y$ sont deux objets, alors $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$. Cette définition assure en particulier que $(a,b)=(c,d)\Longleftrightarrow (a=c\,{\text{ et }}\,b=d)$.

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Définitions : couple, produit de deux ensembles

• Soient x et y deux objets. Nous appelons couple (x,y) la suite d'objets dont le premier élément est x et le second y.
• Soient X et Y deux ensembles quelconques. Nous appelons produit cartésien ou produit de X et de Y l’ensemble des couples (x,y) tels que x appartient à X et y appartient à Y. Cet ensemble se note $X\times Y$.

$(x,y)\neq (y,x)$ en général. Il ne faut pas confondre un couple avec une paire $\left\{x,y\right\}$ pour laquelle nous avons $\left\{x,y\right\}=\left\{y,x\right\}$.

Définitions : n-uplet, produit de n ensembles

• Soient x₁, x₂…, x_n n objets. Nous appelons n-uplet (x₁, x₂…, x_n) la suite d'objets dont le premier élément est x₁, le deuxième x₂…, et le dernier élément x_n. Ces éléments sont appelés composantes.
• Soient E₁, E₂…, E_n n ensembles quelconques. Nous appelons produit cartésien ou produit de E₁ par … par E_n, l’ensemble des n-uplets (x₁, x₂…, x_n) tels que x₁ appartient à E₁…, x_n appartient à E_n. Cet ensemble se note $E_{1}\times E_{2}\times \ldots \times E_{n}$.
• Si E₁= E₂=…=E_n sont égaux à un même ensemble E, nous notons Eⁿ plutôt que $E\times E\times \ldots \times E$.