Ensemble (mathématiques)/Propriétés

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Soient A, B, C des parties d'un ensemble E.

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Intersection et réunion

Proposition

• L'intersection et la réunion sont idempotentes, commutatives et associatives :
  • $A\cap A=A{\text{ et }}A\cup A=A$ ;
  • $A\cap B=B\cap A{\text{ et }}A\cup B=B\cup A$ ;
  • $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C){\text{ et }}(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$.
• L'ensemble vide est absorbant pour l'intersection et neutre pour la réunion :
  • $A\cap \varnothing =\varnothing {\text{ et }}A\cup \varnothing =A$.
• L'intersection est distributive par rapport à la réunion : $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$.
• La réunion est distributive par rapport à l'intersection : $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.

Complémentaire

Proposition

• Double passage au complémentaire : $\complement _{E}\left(\complement _{E}A\right)=A$.
• Lois de De Morgan : le complémentaire d’une intersection est la réunion des complémentaires et le complémentaire d’une réunion est l'intersection des complémentaires, c'est-à-dire

  $\complement _{E}\left(A\cap B\right)=\left(\complement _{E}A\right)\cup \left(\complement _{E}B\right){\text{ et }}\complement _{E}\left(A\cup B\right)=\left(\complement _{E}A\right)\cap \left(\complement _{E}B\right)$.

• $A\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset \complement _{E}B$.
• $A\cup B=E\Leftrightarrow \complement _{E}B\subset A$.
• $A\subset B\Leftrightarrow \complement _{E}B\subset \complement _{E}A$.

Différence symétrique

Proposition

• $\Delta$ est commutative et associative.
• $\varnothing$ est neutre : $A\Delta \varnothing =A$.
• $A\Delta A=\varnothing {\text{ et }}A\Delta E=\complement _{E}A$.
• $\cap$ est distributive par rapport à $\Delta$ : $A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C)$.