Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Exercices/Inéquations

Inéquations du premier degré

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les inéquations suivantes, et donner les solutions sous forme d'intervalles.

1. $2x+3>-2$ ;
2. $-4x+1\leq 2x$ ;
3. $3x+{\frac {4}{3}}<-3x-{\frac {1}{6}}$ ;
4. ${\sqrt {2}}x-1\geq 3$.

Solution

1. $2x+3>-2$

   $2x>-2-3$

   $2x>-5$

   $x>{\frac {-5}{2}}$

   Les solutions de l'inéquation étant les nombres strictement supérieurs à ${\frac {-5}{2}}$, $S=\left]{\frac {-5}{2}},+\infty \right[$.

2. $-4x+1\leq 2x$

   $1\leq 2x+4x$

   $1\leq 6x$

   ${\frac {1}{6}}\leq x$

   Les solutions de l'inéquation étant les nombres supérieurs ou égaux à ${\frac {1}{6}}$, $S=\left[{\frac {1}{6}},+\infty \right[$.

3. $3x+{\frac {4}{3}}<-3x-{\frac {1}{6}}$

   $3x+3x<-{\frac {1}{6}}-{\frac {4}{3}}$

   $6x<-{\frac {3}{2}}$

   $x<-{\frac {3}{2\times 6}}=-{\frac {1}{4}}$

   Les solutions de l'inéquation étant les nombres strictement inférieurs à $-{\frac {1}{4}}$, $S=\left]-\infty ,-{\frac {1}{4}}\right[$.

4. ${\sqrt {2}}x-1\geq 3$

   ${\sqrt {2}}x\geq 4$

   $x\geq {\frac {4}{\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}$

   Les solutions de l'inéquation étant les nombres supérieurs ou égaux à $2{\sqrt {2}}$, $S=\left[2{\sqrt {2}},+\infty \right[$.

 

Inéquations de degré supérieur

1. Démontrer que pour tout réel $x$, ${\frac {1}{4}}x^{2}\geq x-1$.
2. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $x+{\frac {1}{x}}\geq 2$.

Solution

1. Montrer la proposition revient à montrer que ${\frac {1}{4}}x^{2}-x+1\geq 0$.

   Or ${\frac {1}{4}}x^{2}-x+1={\frac {1}{4}}\left(x-2\right)^{2}\geq 0$, donc l'inégalité est toujours vraie.

2. Montrer la proposition revient à montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $x+{\frac {1}{x}}-2\geq 0$.

   Or $x+{\frac {1}{x}}-2={\frac {x^{2}+1-2x}{x}}={\frac {\left(x-1\right)^{2}}{x}}$ est du signe de $x$, donc l'inégalité est vraie pour tout réel $x$ strictement positif.

 

Petit problème

Lucie a obtenu 12 au dernier devoir de mathématiques et 8 au devoir précédent.

Killian a obtenu 7 au dernier devoir et 11 au devoir précédent.

Au dernier devoir, Axelle a fait mieux que Killian mais moins bien que Lucie.

En revanche, au devoir précédent, Axelle a fait mieux que Lucie mais moins bien que Killian.

Donner un encadrement de la moyenne de Axelle en justifiant par des opérations sur des inégalités.

Solution

Les deux notes d'Axelle sont $x$ et $y$ avec $7<x<12$ et $8<y<11$ donc $15<x+y<23$ donc $7{,}5<{\frac {x+y}{2}}<11{,}5$.