Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Présentation globale
Les entiers naturels
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Les entiers relatifs
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Les décimaux
modifierUn nombre est décimal s'il s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule, ou encore, s'il est le quotient d'un entier relatif par une puissance de 10.
On note l’ensemble des décimaux.
- Le nombre est décimal.
- 1,123456789 est décimal car .
- (comme tous les entiers relatifs).
- .
- .
Les rationnels
modifierUn nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme quotient d'un entier relatif par un entier non nul .
On note l’ensemble des rationnels.
- est rationnel (comme tous les décimaux).
- .
- n’est pas rationnel car il n'existe pas d'entiers et tels que .
On utilise le petit résultat suivant : un entier et son carré ont même parité. En effet si alors , et si alors .
Ceci étant, on procède par l'absurde et on choisit une fraction irréductible tel que . Ainsi est pair, donc aussi. On l'écrit alors : . Mais alors de sorte que , et que b est aussi pair, ce qui contredit l'hypothèse d'irréductibilité.
Les réels
modifierL'ensemble des nombres réels complète celui des rationnels et englobe tous les nombres qui peuvent se placer sur une droite graduée.
Schéma d'inclusions successives
modifierEn « désordonnant » ces ensembles et en les imaginant sous forme de « patates », on peut faire le schéma d'inclusions ci-contre.
En utilisant le signe qui signifie : « est contenu dans » ou « est inclus dans », on a :
- .
- Les ensembles contenant les sous-ensembles héritent de leurs propriétés et caractéristiques algébriques.
- Remarque
- On note l’ensemble des irrationnels (réels qui ne sont pas rationnels). On a donc aussi : .