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On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n , non réduit à {0}.
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Espace préhilbertien complexe : Espaces hermitiens Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Existence de bases
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Début d’un théorème
Théorème
Il existe une base orthonormée de E .
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème de la base orthonormée incomplète
Soit ( c 1 , ⋯ , c p ) {\displaystyle (c_{1},\cdots ,c_{p})} une famille orthonormale de vecteurs de E (p < n {\displaystyle p<n} )
Alors cette famille peut être complétée en une base orthonormée de E ( c 1 , ⋯ , c n ) {\displaystyle (c_{1},\cdots ,c_{n})}
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
Soit F un sous-espace vectoriel de E .
Alors :
E = F ⊕ F ⊥ {\displaystyle E=F\oplus F^{\perp }}
( F ⊥ ) ⊥ = F {\displaystyle (F^{\perp })^{\perp }=F}
Fin du théorème
Écriture matricielle
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On munit E d'une base orthonormée B = ( e 1 , ⋯ , e n ) {\displaystyle {\mathcal {B}}=(e_{1},\cdots ,e_{n})}
Écriture vectorielle du produit scalaire
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Soit ( x , y ) ∈ E 2 {\displaystyle (x,y)\in E^{2}} .
Il existe des coordonnées pour x et y dans la base B {\displaystyle {\mathcal {B}}} :
x = ∑ i = 1 n x i e i {\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}} et y = ∑ i = 1 n y i e i {\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}} On pose les vecteurs X = ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}} et Y = ( y 1 ⋮ y n ) {\displaystyle Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}
Écriture vectorielle du produit scalaire et de la norme
⟨ x | y ⟩ = ∑ i = 1 n x i ¯ y i = t X ¯ Y {\displaystyle \langle x|y\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}=^{t}\!\!{\bar {X}}Y}
| | x | | 2 = ∑ i = 1 n | x i | 2 = t X ¯ X {\displaystyle ||x||^{2}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}=^{t}\!\!{\bar {X}}X}
Matrice d'une forme hermitienne
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Soient :
f ∈ S H ( E ) {\displaystyle f\in {\mathcal {SH}}(E)}
ϕ {\displaystyle \scriptstyle {\phi }} la forme hermitienne associée à ƒ
x = ∑ i = 1 n x i e i {\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}} et y = ∑ i = 1 n y i e i {\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}} deux vecteurs de EOn a :
f ( x , y ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i ¯ y j f ( e i , e j ) {\displaystyle f(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{j}f(e_{i},e_{j})}
Remarque
∀ ( j , k ) , f ( e j , e k ) = f ( e k , e j ) ¯ {\displaystyle \forall (j,k),~f(e_{j},e_{k})={\overline {f(e_{k},e_{j})}}}
Donc t A = A ¯ {\displaystyle ^{t}\!\!A={\bar {A}}}
On pose X = ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}} et Y = ( y 1 ⋮ y n ) {\displaystyle Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}
Écriture matricielle
f ( x , y ) = t X ¯ A Y {\displaystyle f(x,y)=^{t}\!\!{\bar {X}}AY}
ϕ ( x ) = t X ¯ A X {\displaystyle \phi (x)=^{t}\!\!{\bar {X}}AX}
Isomorphisme canonique avec le dual
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Début d’un théorème
Isomorphisme canonique avec le dual
On pose l'application
ψ : E → E ∗ x ↦ ⟨ x | ∙ ⟩ {\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\psi &:&E&\rightarrow &E^{*}\\~&~&x&\mapsto &\langle x|\bullet \rangle \end{array}}} ψ {\displaystyle \scriptstyle {\psi }} est un isomophisme sesquilinéaire entre E et son dual.
Fin du théorème
→ Nous verrons en annexe l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique , à travers de la notation bra-ket.