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On suppose dans ce chapitre que E un espace hermitien de dimension n , non réduit à {0}.
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Espace préhilbertien complexe : Espaces hermitiens Espace préhilbertien complexe/Espaces hermitiens », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Début d’un théorème
Théorème
Il existe une base orthonormée de E .
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème de la base orthonormée incomplète
Soit
(
c
1
,
⋯
,
c
p
)
{\displaystyle (c_{1},\cdots ,c_{p})}
une famille orthonormale de vecteurs de E (
p
<
n
{\displaystyle p<n}
)
Alors cette famille peut être complétée en une base orthonormée de E
(
c
1
,
⋯
,
c
n
)
{\displaystyle (c_{1},\cdots ,c_{n})}
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
Soit F un sous-espace vectoriel de E .
Alors :
E
=
F
⊕
F
⊥
{\displaystyle E=F\oplus F^{\perp }}
(
F
⊥
)
⊥
=
F
{\displaystyle (F^{\perp })^{\perp }=F}
Fin du théorème
On munit E d'une base orthonormée
B
=
(
e
1
,
⋯
,
e
n
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}=(e_{1},\cdots ,e_{n})}
Écriture vectorielle du produit scalaire
modifier
Soit
(
x
,
y
)
∈
E
2
{\displaystyle (x,y)\in E^{2}}
.
Il existe des coordonnées pour x et y dans la base
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
:
x
=
∑
i
=
1
n
x
i
e
i
{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}
et
y
=
∑
i
=
1
n
y
i
e
i
{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}
On pose les vecteurs
X
=
(
x
1
⋮
x
n
)
{\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}
et
Y
=
(
y
1
⋮
y
n
)
{\displaystyle Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}
Écriture vectorielle du produit scalaire et de la norme
⟨
x
|
y
⟩
=
∑
i
=
1
n
x
i
¯
y
i
=
t
X
¯
Y
{\displaystyle \langle x|y\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}=^{t}\!\!{\bar {X}}Y}
|
|
x
|
|
2
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
2
=
t
X
¯
X
{\displaystyle ||x||^{2}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}=^{t}\!\!{\bar {X}}X}
Soient :
f
∈
S
H
(
E
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {SH}}(E)}
ϕ
{\displaystyle \scriptstyle {\phi }}
la forme hermitienne associée à ƒ
x
=
∑
i
=
1
n
x
i
e
i
{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}
et
y
=
∑
i
=
1
n
y
i
e
i
{\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}
deux vecteurs de E
On a :
f
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
x
i
¯
y
j
f
(
e
i
,
e
j
)
{\displaystyle f(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{j}f(e_{i},e_{j})}
Remarque
∀
(
j
,
k
)
,
f
(
e
j
,
e
k
)
=
f
(
e
k
,
e
j
)
¯
{\displaystyle \forall (j,k),~f(e_{j},e_{k})={\overline {f(e_{k},e_{j})}}}
Donc
t
A
=
A
¯
{\displaystyle ^{t}\!\!A={\bar {A}}}
On pose
X
=
(
x
1
⋮
x
n
)
{\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}
et
Y
=
(
y
1
⋮
y
n
)
{\displaystyle Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}
Écriture matricielle
f
(
x
,
y
)
=
t
X
¯
A
Y
{\displaystyle f(x,y)=^{t}\!\!{\bar {X}}AY}
ϕ
(
x
)
=
t
X
¯
A
X
{\displaystyle \phi (x)=^{t}\!\!{\bar {X}}AX}
Isomorphisme canonique avec le dual
modifier
Début d’un théorème
Isomorphisme canonique avec le dual
On pose l'application
ψ
:
E
→
E
∗
x
↦
⟨
x
|
∙
⟩
{\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\psi &:&E&\rightarrow &E^{*}\\~&~&x&\mapsto &\langle x|\bullet \rangle \end{array}}}
ψ
{\displaystyle \scriptstyle {\psi }}
est un isomophisme sesquilinéaire entre E et son dual.
Fin du théorème
→ Nous verrons en annexe l’intérêt de cet isomorphisme pour l’application à la mécanique quantique , à travers de la notation bra-ket.