Espace préhilbertien complexe/Orthogonalité

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On travaille dans un espace préhilbertien complexe E muni du produit scalaire $\langle \cdot \mid \cdot \rangle$ et de la norme associée $\|\cdot \|$.

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Orthogonal d'une partie

Toutes les définitions de ce paragraphe ainsi que leurs démonstrations sont exactement les mêmes que dans le cas d'un espace préhilbertien réel.

→ Pour revoir les démonstrations de ces propositions, se reporter au chapitre Orthogonalité dans les espaces préhilbertiens réels.

Définitions

• Soit $(x,y)\in E^{2}$. x et y sont orthogonaux lorsque $\langle x\mid y\rangle =0$.
• Soit $x\in E$ et A une partie de E. x est orthogonal à A si $\forall a\in A\quad \langle a\mid x\rangle =0$.
• Soient A et B deux parties de E. A et B sont orthogonales si $\forall a\in A\quad \forall b\in B\quad \langle a\mid b\rangle =0$.
• Si A une partie de E, on appelle orthogonal de A le sous-espace vectoriel $A^{\perp }=\{x\in E\mid \forall a\in A\quad \langle x\mid a\rangle =0\}$.

Début d’un théorème

Théorème

Soient A et B deux parties de E.

$A\subset B\Rightarrow B^{\perp }\subset A^{\perp }$.

$A^{\perp }=(\mathrm {Vect} (A))^{\perp }$.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

$(F+G)^{\perp }=F^{\perp }\cap G^{\perp }$.

$F^{\perp }+G^{\perp }\subset (F\cap G)^{\perp }$.

$F\subset (F^{\perp })^{\perp }$.

Fin du théorème

Familles orthogonales

Définition

Un vecteur $x\in E$ est dit unitaire si $\|x\|=1$.

Définition

Soit v = $(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})$ une famille de vecteurs de E.

• v est orthogonale si $\forall (i,j)\quad i\not =j\Rightarrow (v_{i}\mid v_{j})=0$.
• v est orthonormale si

v est orthogonale et les $v_{i}$ sont unitaires

ou, ce qui est équivalent, $\forall (i,j)\quad \langle v_{i}\mid v_{j}\rangle =\delta _{i,j}$.

Début d’un théorème

Théorème de Pythagore

$\forall (x,y)\in E^{2}\quad \langle x\mid y\rangle =0\Rightarrow \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}$.

La réciproque est fausse ! Contrairement au cas réel, on n'a pas l'équivalence car, d’après les formules de polarisation, $\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\Leftrightarrow \langle x\mid y\rangle \in \mathrm {i} \mathbb {R}$, possibilité qui ne se présente pas dans un espace préhilbertien réel.

Théorème de Pythagore généralisé :

Soit $(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n})$ une famille orthogonale de E.

On a $\left\|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}$

Fin du théorème

Propriété

Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Supplémentaire orthogonal

Début d’un théorème

Théorème fondamental

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E.

Alors $E=F\oplus F^{\perp }$.

Fin du théorème