Début de la boite de navigation du chapitre
Dans tout ce cours, E est un
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Espace préhilbertien complexe : Formes hermitiennes Espace préhilbertien complexe/Formes hermitiennes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Sesquilinéarité
Soit
f
:
E
2
→
C
{\displaystyle f:E^{2}\to \mathbb {C} }
ƒ est dite linéaire à droite si
∀
λ
∈
C
,
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
E
3
,
f
(
x
,
λ
y
+
z
)
=
λ
f
(
x
,
y
)
+
f
(
x
,
z
)
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(x,\lambda y+z)=\lambda f(x,y)+f(x,z)}
ƒ est dite semi-linéaire à gauche si
∀
λ
∈
C
,
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
E
3
,
f
(
λ
x
+
y
,
z
)
=
λ
¯
f
(
x
,
z
)
+
f
(
y
,
z
)
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,~\forall (x,y,z)\in E^{3},~f(\lambda x+y,z)={\bar {\lambda }}f(x,z)+f(y,z)}
forme sesquilinéaire .
Symétrie hermitienne
Soit
f
:
E
2
→
C
{\displaystyle f:E^{2}\to \mathbb {C} }
On dit que ƒ est à symétrie hermitienne si
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
f
(
y
,
x
)
=
f
(
x
,
y
)
¯
{\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}\quad f(y,x)={\overline {f(x,y)}}}
Forme hermitienne
Une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire à symétrie hermitienne.
Soit ƒ une forme hermitienne sur E .
On définit l’application
q
:
E
→
R
{\displaystyle q:E\to \mathbb {R} }
q
(
x
)
=
f
(
x
,
x
)
{\displaystyle q(x)=f(x,x)}
q est appelée forme quadratique (hermitienne) associée à ƒ .
ƒ est appelée forme polaire associée à q .
Début de l'exemple
Exemple
f
:
C
[
X
]
2
→
C
(
P
,
Q
)
↦
P
(
0
)
¯
Q
(
1
)
+
P
(
1
)
¯
Q
(
0
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}f&:&\mathbb {C} [X]^{2}&\to &\mathbb {C} \\~&~&(P,Q)&\mapsto &{\overline {P(0)}}Q(1)+{\overline {P(1)}}Q(0)\end{array}}}
ƒ est une forme hermitienne.
Sa forme quadratique associée est :
q
:
C
[
X
]
→
C
P
↦
2
ℜ
(
P
(
0
)
¯
P
(
1
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}q&:&\mathbb {C} [X]&\to &\mathbb {C} \\~&~&P&\mapsto &2\Re ({\overline {P(0)}}P(1))\end{array}}}
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Formules de polarisation
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
{\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}}
q
(
x
+
y
)
=
q
(
x
)
+
q
(
y
)
+
2
ℜ
(
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle q(x+y)=q(x)+q(y)+2\Re (f(x,y))}
q
(
x
−
y
)
=
q
(
x
)
+
q
(
y
)
−
2
ℜ
(
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle q(x-y)=q(x)+q(y)-2\Re (f(x,y))}
q
(
x
+
i
y
)
=
q
(
x
)
+
q
(
y
)
−
2
ℑ
(
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle q(x+iy)=q(x)+q(y)-2\Im (f(x,y))}
q
(
x
−
i
y
)
=
q
(
x
)
+
q
(
y
)
+
2
ℑ
(
f
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle q(x-iy)=q(x)+q(y)+2\Im (f(x,y))}
Fin du théorème
Début d’un théorème
Identités du parallélogramme
Fin du théorème
On notera (ponctuellement) dans cette section :
H
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}(E)}
E .
Q
H
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {QH}}(E)}
H
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}(E)}
est pas un espace vectoriel sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
E est l'espace nul).
En effet, soient
f
{\displaystyle f}
E et
(
x
,
y
)
∈
E
2
{\displaystyle (x,y)\in E^{2}}
f
(
x
,
y
)
≠
0
{\displaystyle f(x,y)\neq 0}
g
=
i
f
{\displaystyle g=\mathrm {i} f}
Alors,
g
(
y
,
x
)
=
i
f
(
y
,
x
)
=
i
f
(
x
,
y
)
¯
{\displaystyle g(y,x)=\mathrm {i} f(y,x)=\mathrm {i} {\overline {f(x,y)}}}
tandis que
g
(
x
,
y
)
¯
=
i
f
(
x
,
y
)
¯
=
−
i
f
(
x
,
y
)
¯
{\displaystyle {\overline {g(x,y)}}={\overline {\mathrm {i} f(x,y)}}=-\mathrm {i} {\overline {f(x,y)}}}
Donc g n’est pas à symétrie hermitienne.
Début d’un théorème
Théorème
La surjection
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
H
(
E
)
→
Q
H
(
E
)
f
↦
q
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\mathcal {H}}(E)&\rightarrow &{\mathcal {QH}}(E)\\f&\mapsto &q\end{array}}}
est injective (donc bijective).
Fin du théorème
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}f&:&\mathbb {C} [X]^{2}&\to &\mathbb {C} \\~&~&(P,Q)&\mapsto &{\overline {P(0)}}Q(1)+{\overline {P(1)}}Q(0)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86cf4c244944283bb22f26acb436994d36c0450)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}q&:&\mathbb {C} [X]&\to &\mathbb {C} \\~&~&P&\mapsto &2\Re ({\overline {P(0)}}P(1))\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269e9827b8bcf8ebe654839560d251abb57e8fb9)
![{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2}}\left[q(x+y)-q(x)-q(y)\right]+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\left[q(x)+q(y)-q(x+y)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23954c42b96848497b25b7d8e8910898d496f266)
![{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{4}}\left[q(x+y)-q(x-y)\right]+{\frac {\mathrm {i} }{4}}\left[q(x-\mathrm {i} y)-q(x+\mathrm {i} y)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce69f6b1a4ced3b3f1135a02e3e0936a9c4e898f)
