En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Fractions rationnellesExpressions algébriques/Exercices/Fractions rationnelles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Simplifier les expressions :
a)
a
2
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
b
2
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
c
2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
{\displaystyle {\frac {a^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{2}}{(c-a)(c-b)}}}
b)
a
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
b
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
c
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
{\displaystyle {\frac {a}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c}{(c-a)(c-b)}}}
c)
b
c
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
a
c
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
a
b
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
{\displaystyle {\frac {bc}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {ac}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {ab}{(c-a)(c-b)}}}
d)
a
3
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
b
3
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
c
3
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
{\displaystyle {\frac {a^{3}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{3}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{3}}{(c-a)(c-b)}}}
e)
b
2
c
2
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
a
2
c
2
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
a
2
b
2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
{\displaystyle {\frac {b^{2}c^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {a^{2}c^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{(c-a)(c-b)}}}
a) Corrigé
Commençons par mettre au même dénominateur :
a
2
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
b
2
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
c
2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
=
a
2
(
c
−
b
)
+
b
2
(
a
−
c
)
+
c
2
(
b
−
a
)
(
a
−
b
)
(
b
−
c
)
(
c
−
a
)
{\displaystyle {\frac {a^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{2}}{(c-a)(c-b)}}={\frac {a^{2}(c-b)+b^{2}(a-c)+c^{2}(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}}}
Nous remarquons que le polynôme au numérateur s'annule dès que deux des trois variables sont égales. Il est donc de la forme
(
a
−
b
)
(
b
−
c
)
(
c
−
a
)
×
Q
{\displaystyle (a-b)(b-c)(c-a)\times Q}
Q
{\displaystyle Q}
On l'évalue en choisissant des valeurs particulières pour
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
−
1
,
0
,
1
{\displaystyle -1,0,1}
a
2
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
b
2
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
c
2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
=
1
(
−
1
)
(
−
2
)
+
0
+
1
2
=
1
{\displaystyle {\frac {a^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{2}}{(c-a)(c-b)}}={\frac {1}{(-1)(-2)}}+0+{\frac {1}{2}}=1}
b) Corrigé
En procédant de façon similaire au a) , on trouve :
a
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
b
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
c
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
=
0
{\displaystyle {\frac {a}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c}{(c-a)(c-b)}}=0}
c) Corrigé
En procédant de façon similaire au a) , on trouve :
b
c
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
a
c
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
a
b
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
=
1
{\displaystyle {\frac {bc}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {ac}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {ab}{(c-a)(c-b)}}=1}
d) Corrigé
En procédant de façon similaire au a) , on trouve :
a
3
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
b
3
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
c
3
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle {\frac {a^{3}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{3}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{3}}{(c-a)(c-b)}}=a+b+c}
e) Corrigé
En procédant de façon similaire au a) , on trouve :
b
2
c
2
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
+
a
2
c
2
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
+
a
2
b
2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
=
a
b
+
a
c
+
b
c
{\displaystyle {\frac {b^{2}c^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {a^{2}c^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{(c-a)(c-b)}}=ab+ac+bc}
Simplifier les expressions :
a)
(
a
2
−
b
2
−
c
2
−
2
b
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
+
b
+
c
)
(
a
2
+
c
2
−
2
a
c
−
b
2
)
{\displaystyle {\frac {(a^{2}-b^{2}-c^{2}-2bc)(a+b-c)}{(a+b+c)(a^{2}+c^{2}-2ac-b^{2})}}}
b)
x
3
−
x
2
−
x
+
1
x
4
−
x
3
−
3
x
2
+
5
x
−
2
{\displaystyle {\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}}
c)
a
2
−
3
a
b
+
a
c
+
2
b
2
−
2
b
c
a
2
−
b
2
+
2
b
c
−
c
2
{\displaystyle {\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}}
d)
a
b
(
x
2
+
y
2
)
+
x
y
(
a
2
+
b
2
)
a
b
(
x
2
−
y
2
)
+
x
y
(
a
2
−
b
2
)
{\displaystyle {\frac {ab(x^{2}+y^{2})+xy(a^{2}+b^{2})}{ab(x^{2}-y^{2})+xy(a^{2}-b^{2})}}}
e)
a
5
+
a
2
b
3
−
a
4
b
−
a
b
4
a
4
−
a
2
b
2
+
a
3
b
−
a
b
3
{\displaystyle {\frac {a^{5}+a^{2}b^{3}-a^{4}b-ab^{4}}{a^{4}-a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab^{3}}}}
a) Corrigé
Nous avons :
(
a
2
−
b
2
−
c
2
−
2
b
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
+
b
+
c
)
(
a
2
+
c
2
−
2
a
c
−
b
2
)
=
[
a
2
−
(
b
+
c
)
2
]
(
a
+
b
−
c
)
(
a
+
b
+
c
)
[
(
a
−
c
)
2
−
b
2
]
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
−
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
+
b
+
c
)
(
a
−
c
+
b
)
(
a
−
c
−
b
)
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(a^{2}-b^{2}-c^{2}-2bc)(a+b-c)}{(a+b+c)(a^{2}+c^{2}-2ac-b^{2})}}&={\frac {\left[a^{2}-(b+c)^{2}\right](a+b-c)}{(a+b+c)\left[(a-c)^{2}-b^{2}\right]}}\\&={\frac {(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)}{(a+b+c)(a-c+b)(a-c-b)}}\\&=1\\\end{aligned}}}
b) Corrigé
Le numérateur et le dénominateur s'annulent pour
x
=
1
{\displaystyle x=1}
(
x
−
1
)
{\displaystyle (x-1)}
x
3
−
x
2
−
x
+
1
x
4
−
x
3
−
3
x
2
+
5
x
−
2
=
(
x
−
1
)
(
x
2
−
1
)
(
x
−
1
)
(
x
3
−
3
x
+
2
)
=
x
2
−
1
x
3
−
3
x
+
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}&={\frac {(x-1)(x^{2}-1)}{(x-1)(x^{3}-3x+2)}}\\&={\frac {x^{2}-1}{x^{3}-3x+2}}\end{aligned}}}
On remarque que le numérateur et le dénominateur s'annulent pour
x
=
1
{\displaystyle x=1}
(
x
−
1
)
{\displaystyle (x-1)}
x
3
−
x
2
−
x
+
1
x
4
−
x
3
−
3
x
2
+
5
x
−
2
=
(
x
−
1
)
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
(
x
2
+
x
−
2
)
=
x
+
1
x
2
+
x
−
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}&={\frac {(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^{2}+x-2)}}\\&={\frac {x+1}{x^{2}+x-2}}\end{aligned}}}
On remarque que le dénominateur s'annule pour
x
=
1
{\displaystyle x=1}
x
3
−
x
2
−
x
+
1
x
4
−
x
3
−
3
x
2
+
5
x
−
2
=
x
+
1
(
x
−
1
)
(
x
+
2
)
{\displaystyle {\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}={\frac {x+1}{(x-1)(x+2)}}}
c) Corrigé
Nous avons :
a
2
−
3
a
b
+
a
c
+
2
b
2
−
2
b
c
a
2
−
b
2
+
2
b
c
−
c
2
=
a
2
−
3
a
b
+
a
c
+
2
b
2
−
2
b
c
a
2
−
(
b
−
c
)
2
=
a
2
−
3
a
b
+
a
c
+
2
b
2
−
2
b
c
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}&={\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-(b-c)^{2}}}\\&={\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{(a+b-c)(a-b+c)}}\end{aligned}}}
Compte tenu du dénominateur, essayons de voir si l'on ne peut pas factoriser le numérateur par
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle (a+b-c)}
(
a
−
b
+
c
)
{\displaystyle (a-b+c)}
Pour cela remplaçons, dans le numérateur successivement
a
{\displaystyle a}
b
−
c
{\displaystyle b-c}
c
−
b
{\displaystyle c-b}
Pour
a
=
b
−
c
{\displaystyle a=b-c}
a
2
−
3
a
b
+
a
c
+
2
b
2
−
2
b
c
=
(
b
−
c
)
2
−
3
(
b
−
c
)
b
+
(
b
−
c
)
c
+
2
b
2
−
2
b
c
=
b
2
−
2
b
c
+
c
2
−
3
b
2
+
3
b
c
+
b
c
−
c
2
+
2
b
2
−
2
b
c
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc&=(b-c)^{2}-3(b-c)b+(b-c)c+2b^{2}-2bc\\&=b^{2}-2bc+c^{2}-3b^{2}+3bc+bc-c^{2}+2b^{2}-2bc\\&=0\end{aligned}}}
On peut donc mettre
(
a
−
b
+
c
)
{\displaystyle (a-b+c)}
a
2
−
3
a
b
+
a
c
+
2
b
2
−
2
b
c
a
2
−
b
2
+
2
b
c
−
c
2
=
(
a
−
b
+
c
)
(
a
−
2
b
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
{\displaystyle {\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}={\frac {(a-b+c)(a-2b)}{(a+b-c)(a-b+c)}}}
et on a la simplification suivante :
a
2
−
3
a
b
+
a
c
+
2
b
2
−
2
b
c
a
2
−
b
2
+
2
b
c
−
c
2
=
a
−
2
b
a
+
b
−
c
{\displaystyle {\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}={\frac {a-2b}{a+b-c}}}
d) Corrigé
Nous avons :
a
b
(
x
2
+
y
2
)
+
x
y
(
a
2
+
b
2
)
a
b
(
x
2
−
y
2
)
+
x
y
(
a
2
−
b
2
)
=
a
b
x
2
+
a
b
y
2
+
x
y
a
2
+
x
y
b
2
a
b
x
2
−
a
b
y
2
+
x
y
a
2
−
x
y
b
2
=
a
x
(
b
x
+
a
y
)
+
b
y
(
a
y
+
b
x
)
a
x
(
b
x
+
a
y
)
−
b
y
(
a
y
+
b
x
)
=
(
a
x
+
b
y
)
(
b
x
+
a
y
)
(
a
x
−
b
y
)
(
b
x
+
a
y
)
=
a
x
+
b
y
a
x
−
b
y
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {ab(x^{2}+y^{2})+xy(a^{2}+b^{2})}{ab(x^{2}-y^{2})+xy(a^{2}-b^{2})}}&={\frac {abx^{2}+aby^{2}+xya^{2}+xyb^{2}}{abx^{2}-aby^{2}+xya^{2}-xyb^{2}}}\\&={\frac {ax(bx+ay)+by(ay+bx)}{ax(bx+ay)-by(ay+bx)}}\\&={\frac {(ax+by)(bx+ay)}{(ax-by)(bx+ay)}}\\&={\frac {ax+by}{ax-by}}\end{aligned}}}
e) Corrigé
On peut simplifier par
a
{\displaystyle a}
a
5
+
a
2
b
3
−
a
4
b
−
a
b
4
a
4
−
a
2
b
2
+
a
3
b
−
a
b
3
=
a
4
+
a
b
3
−
a
3
b
−
b
4
a
3
−
a
b
2
+
a
2
b
−
b
3
{\displaystyle {\frac {a^{5}+a^{2}b^{3}-a^{4}b-ab^{4}}{a^{4}-a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab^{3}}}={\frac {a^{4}+ab^{3}-a^{3}b-b^{4}}{a^{3}-ab^{2}+a^{2}b-b^{3}}}}
et l'on voit qu'en remplaçant
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
−
b
{\displaystyle a-b}
a
5
+
a
2
b
3
−
a
4
b
−
a
b
4
a
4
−
a
2
b
2
+
a
3
b
−
a
b
3
=
a
4
−
b
4
+
a
b
3
−
a
3
b
a
3
−
b
3
−
a
b
2
+
a
2
b
=
a
3
(
a
−
b
)
+
b
3
(
a
−
b
)
a
(
a
2
−
b
2
)
+
b
(
a
2
−
b
2
)
=
(
a
−
b
)
(
a
3
+
b
3
)
(
a
+
b
)
(
a
2
−
b
2
)
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(
a
+
b
)
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
a
b
+
b
2
a
+
b
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{5}+a^{2}b^{3}-a^{4}b-ab^{4}}{a^{4}-a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab^{3}}}&={\frac {a^{4}-b^{4}+ab^{3}-a^{3}b}{a^{3}-b^{3}-ab^{2}+a^{2}b}}\\&={\frac {a^{3}(a-b)+b^{3}(a-b)}{a(a^{2}-b^{2})+b(a^{2}-b^{2})}}\\&={\frac {(a-b)(a^{3}+b^{3})}{(a+b)(a^{2}-b^{2})}}\\&={\frac {(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{(a+b)(a+b)(a-b)}}\\&={\frac {a^{2}-ab+b^{2}}{a+b}}\\\end{aligned}}}
Simplifier l'expression :
2
a
2
c
+
2
b
2
c
+
a
b
c
−
a
3
−
b
3
−
c
3
a
b
+
a
c
+
b
c
+
c
2
−
a
2
−
b
2
{\displaystyle {\frac {2a^{2}c+2b^{2}c+abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{ab+ac+bc+c^{2}-a^{2}-b^{2}}}}
Solution
Le dénominateur, vu par exemple comme polynôme en
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
1
{\displaystyle 1}
c
{\displaystyle c}
−
c
3
c
2
=
−
c
{\displaystyle {\frac {-c^{3}}{c^{2}}}=-c}
2
{\displaystyle 2}
−
c
3
+
c
(
2
a
2
+
2
b
2
+
a
b
)
−
a
3
−
b
3
=
(
c
2
+
c
(
a
b
+
a
+
b
)
−
a
2
−
b
2
)
(
−
c
+
P
)
+
c
Q
+
R
{\displaystyle -c^{3}+c(2a^{2}+2b^{2}+ab)-a^{3}-b^{3}=\left(c^{2}+c(ab+a+b)-a^{2}-b^{2}\right)(-c+P)+cQ+R}
où
P
,
Q
,
R
{\displaystyle P,Q,R}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
2
{\displaystyle c^{2}}
c
{\displaystyle c}
1
{\displaystyle 1}
{
0
=
P
−
a
−
b
,
2
a
2
+
2
b
2
+
a
b
=
(
a
+
b
)
P
−
a
b
+
a
2
+
b
2
+
Q
,
−
a
3
−
b
3
=
(
a
b
−
a
2
−
b
2
)
P
+
R
{\displaystyle {\begin{cases}0&=P-a-b,\\2a^{2}+2b^{2}+ab&=(a+b)P-ab+a^{2}+b^{2}+Q,\\-a^{3}-b^{3}&=(ab-a^{2}-b^{2})P+R\end{cases}}}
donc de proche en proche :
P
=
a
+
b
,
Q
=
0
,
R
=
0
{\displaystyle P=a+b,\quad Q=0,\quad R=0}
Puisque le reste
c
Q
+
R
{\displaystyle cQ+R}
−
c
+
P
=
−
c
+
a
+
b
{\displaystyle -c+P=-c+a+b}
2
a
2
c
+
2
b
2
c
+
a
b
c
−
a
3
−
b
3
−
c
3
a
b
+
a
c
+
b
c
+
c
2
−
a
2
−
b
2
=
a
+
b
−
c
{\displaystyle {\frac {2a^{2}c+2b^{2}c+abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{ab+ac+bc+c^{2}-a^{2}-b^{2}}}=a+b-c}
Montrer que si l'on a :
b
−
c
y
−
z
+
c
−
a
z
−
x
+
a
−
b
x
−
y
=
0
{\displaystyle {\frac {b-c}{y-z}}+{\frac {c-a}{z-x}}+{\frac {a-b}{x-y}}=0}
on a aussi :
(
b
−
c
)
(
y
−
z
)
2
+
(
c
−
a
)
(
z
−
x
)
2
+
(
a
−
b
)
(
x
−
y
)
2
=
0
{\displaystyle (b-c)(y-z)^{2}+(c-a)(z-x)^{2}+(a-b)(x-y)^{2}=0}
Solution
Il s'agit de démontrer que
p
u
+
q
v
+
−
p
−
q
−
u
−
v
=
0
⇒
p
u
2
+
q
v
2
+
(
−
p
−
q
)
(
−
u
−
v
)
2
=
0
{\displaystyle {\frac {p}{u}}+{\frac {q}{v}}+{\frac {-p-q}{-u-v}}=0\Rightarrow pu^{2}+qv^{2}+(-p-q)(-u-v)^{2}=0}
ce qui se réécrit
(
p
v
+
q
u
)
(
u
+
v
)
+
(
p
+
q
)
u
v
=
0
⇒
q
u
2
+
p
v
2
+
2
(
p
+
q
)
u
v
=
0
{\displaystyle (pv+qu)(u+v)+(p+q)uv=0\Rightarrow qu^{2}+pv^{2}+2(p+q)uv=0}
et qui, en développant, est immédiat.
Étant donnée la relation liant
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
y
=
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}}
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}
a
d
−
b
c
≠
0
{\displaystyle ad-bc\neq 0}
on remplace
x
{\displaystyle x}
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
{\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}}
y
{\displaystyle y}
y
1
,
y
2
,
y
3
,
y
4
{\displaystyle y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}}
Démontrer que l'on a :
y
3
−
y
1
y
3
−
y
2
y
4
−
y
1
y
4
−
y
2
=
x
3
−
x
1
x
3
−
x
2
x
4
−
x
1
x
4
−
x
2
{\displaystyle {\frac {\frac {y_{3}-y_{1}}{y_{3}-y_{2}}}{\frac {y_{4}-y_{1}}{y_{4}-y_{2}}}}={\frac {\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}}}
Solution
Si
c
=
0
{\displaystyle c=0}
Si
c
≠
0
{\displaystyle c\neq 0}
y
=
α
x
−
β
+
γ
{\displaystyle y={\frac {\alpha }{x-\beta }}+\gamma }
où
α
=
(
b
c
−
a
d
)
/
c
2
,
β
=
−
d
/
c
,
γ
=
a
/
c
{\displaystyle \alpha =(bc-ad)/c^{2},\quad \beta =-d/c,\quad \gamma =a/c}
Il suffit donc de vérifier que la quantité
x
3
−
x
1
x
3
−
x
2
x
4
−
x
1
x
4
−
x
2
{\displaystyle {\frac {\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}}}
i
=
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle i=1,2,3,4}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
u
i
:=
x
i
−
β
{\displaystyle u_{i}:=x_{i}-\beta }
u
i
{\displaystyle u_{i}}
v
i
:=
1
/
u
i
{\displaystyle v_{i}:=1/u_{i}}
v
i
{\displaystyle v_{i}}
w
i
:=
α
v
i
{\displaystyle w_{i}:=\alpha v_{i}}
w
i
{\displaystyle w_{i}}
y
i
=
w
i
+
γ
{\displaystyle y_{i}=w_{i}+\gamma }
Vérifions-le pour la transformation 2 (pour les trois autres, c'est immédiat) :
v
3
−
v
1
v
3
−
v
2
=
u
1
−
u
3
u
3
u
1
u
2
−
u
3
u
3
u
2
=
u
3
−
u
1
u
3
−
u
2
×
u
2
u
1
{\displaystyle {\frac {v_{3}-v_{1}}{v_{3}-v_{2}}}={\frac {\frac {u_{1}-u_{3}}{u_{3}u_{1}}}{\frac {u_{2}-u_{3}}{u_{3}u_{2}}}}={\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}
et de même,
v
4
−
v
1
v
4
−
v
2
=
u
4
−
u
1
u
4
−
u
2
×
u
2
u
1
{\displaystyle {\frac {v_{4}-v_{1}}{v_{4}-v_{2}}}={\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}
donc
v
3
−
v
1
v
3
−
v
2
v
4
−
v
1
v
4
−
v
2
=
u
3
−
u
1
u
3
−
u
2
×
u
2
u
1
u
4
−
u
1
u
4
−
u
2
×
u
2
u
1
=
u
3
−
u
1
u
3
−
u
2
u
4
−
u
1
u
4
−
u
2
{\displaystyle {\frac {\frac {v_{3}-v_{1}}{v_{3}-v_{2}}}{\frac {v_{4}-v_{1}}{v_{4}-v_{2}}}}={\frac {{\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}{{\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}}={\frac {\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}{\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}}}
}{(a+b+c)\left[(a-c)^{2}-b^{2}\right]}}\\&={\frac {(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)}{(a+b+c)(a-c+b)(a-c-b)}}\\&=1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9ee99ac77accbd7bc00dded1d5f7f1300311f7)
