Fonction dérivée/Dérivée de la puissance énième d'une fonction

Début de la boite de navigation du chapitre
Dérivée de la puissance énième d'une fonction
Icône de la faculté
Chapitre no 8
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. :Dérivée d'un produit
Chap. suiv. :Dérivée d'un quotient
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction dérivée : Dérivée de la puissance énième d'une fonction
Fonction dérivée/Dérivée de la puissance énième d'une fonction
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Problématique : Comment dériver directement des fonctions comme ou  ?

On donne une formule générale très simple à retenir et à appliquer.

Fonctions de la forme unModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque : Dans l’écriture   , c’est bien le nombre   qui est mis à la puissance n et pas seulement x.

ExempleModifier

On souhaite dériver la fonction   définie sur  

Ici on a :

  • Pour tout  
  • n = 2
  • Pour tout  

On applique le théorème :

  • u est dérivable sur  , donc ƒ est dérivable sur  
  • Pour tout  
  • Donc d’après le théorème, pour tout  


ExempleModifier

On souhaite dériver la fonction  , définie sur  

Ici on a :

  • Pour tout  
  • n = 4
  • Pour tout  

On applique le théorème :

  • u est dérivable sur  , donc ƒ est dérivable sur  
  • Pour tout  
  • Donc d’après le théorème, pour tout  

ExempleModifier

On souhaite dériver la fonction   (attention à cette notation !), définie sur  .


Ici on a :

  • Pour tout  
  • n = 3
  • Pour tout  

On applique le théorème :

  • u est dérivable sur  , donc ƒ est dérivable sur  
  • Pour tout  
  • Donc d’après le théorème, pour tout  

ExerciceModifier

Dériver les trois fonctions suivantes:

 , définie sur    , définie sur    , définie sur  

Fonction de la forme 1/unModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque : Cette formule peut se démontrer en étendant la précédente à n négatif ou encore en appliquant u/v.

ExempleModifier

On souhaite dériver la fonction  , définie sur un certain domaine I pour lequel   ne s'annule pas.

Ici on a :

  • Pour tout  
  • n = 2
  • Pour tout  

On applique le théorème :

  • u est dérivable sur I et ne s'annule pas sur I, donc ƒ est dérivable sur I
  • Pour tout  
  • Donc d’après le théorème, pour tout  

ExerciceModifier

Dériver les trois fonctions suivantes :

  •  , définie sur  
  •  , définie sur  
  •  , définie sur