Fonction dérivée/Dérivée d'un quotient

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Dérivée d'un inverse

Début d’un théorème

Théorème

Soit $u$ une fonction dérivable sur un domaine $D$. La fonction ${\frac {1}{u}}$ est définie et dérivable sur $D$ privé des points où $u$ s'annule, et

$\left({\frac {1}{u}}\right)'=-{\frac {u'}{u^{2}}}$.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Dérivée de la fonction inverse

La dérivée sur $\mathbb {R} \backslash \{0\}$ de la fonction inverse $f:x\mapsto {\frac {1}{x}}$ est $f'(x)\mapsto -{\frac {1}{x^{2}}}$.

Fin de l'exemple

Exemple 1

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto {\frac {1}{x^{2}+1}}$, définie sur $\mathbb {R}$.

Pour tout $x\in \mathbb {R}$ : $u(x)=\cdots$ $u'(x)=\cdots$ $f'(x)=\cdots$ $f'(-1)=\cdots$.

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R}$, $u(x)=x^{2}+1$.

$u$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R}$ :

$u'(x)=2x$.

$u$ ne s'annule pas sur $\mathbb {R}$ donc, d’après le théorème, $f$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et, pour tout $x\in \mathbb {R}$ :

$f'(x)=-{\frac {u'(x)}{u(x)^{2}}}=-{\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}$

$f'(-1)=-{\frac {-2}{((-1)^{2}+1)^{2}}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$.

 

Exemple 2

On souhaite dériver la fonction $f(x)={\frac {1}{{\sqrt {x}}+3}}$, définie sur $[0,+\infty [$.

Pour tout $x\in \cdots$ : $u(x)=\cdots$ $u'(x)=\cdots$ $f'(x)=\cdots$ $f'\left({\frac {1}{2}}\right)=\cdots$.

Solution

Pour tout $x\in [0,+\infty [$, $u(x)={\sqrt {x}}+3$.

$u$ est dérivable sur $\color {red}]\color {black}0,+\infty [$ et, pour tout $x\in \color {red}]\color {black}0,+\infty [$: $u'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$.

$u$ ne s'annule pas sur $]0,+\infty [$ donc, d’après le théorème, $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et, pour tout $x\in ]0,+\infty [$ :

$f'(x)=-{\frac {u'(x)}{u(x)^{2}}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}({\sqrt {x}}+3)^{2}}}$.

$f'\left({\frac {1}{2}}\right)=-{\frac {1}{2{\sqrt {\frac {1}{2}}}({\sqrt {\frac {1}{2}}}+3)^{2}}}={\frac {12-19{\sqrt {2}}}{289}}$.

 

Dérivée d'un quotient

Début d’un théorème

Théorème

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un domaine $D$.

La fonction ${\frac {u}{v}}$ est définie et dérivable sur $D$ privé des points où $v$ s'annule, et

$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$.

Fin du théorème

Démonstration

On peut montrer facilement cette formule à partir de la précédente :

${\begin{aligned}f'&=\left({\frac {u}{v}}\right)'\\&=\left(u\times {\frac {1}{v}}\right)'\\&=u'\cdot {\frac {1}{v}}+u\left({\frac {1}{v}}\right)'\\&={\frac {u'}{v}}-uv'\cdot {\frac {1}{v^{2}}}\\&={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}.\end{aligned}}$

 

Exemple 1

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto {\frac {5x^{2}+3}{2x+3}}$ définie sur $D=\mathbb {R} \backslash \left\{-{\frac {3}{2}}\right\}$.

Pour tout $x\in D$ : $u(x)=\cdots$ $v(x)=\cdots$ $u'(x)=\cdots$ $v'(x)=\cdots$ $f'(x)=\cdots$ $f'(3)=\cdots$

Solution

Pour tout $x\in D$, $u(x)=5x^{2}+3$ et $v(x)=2x+3$.

• $u$ et $v$ sont dérivables sur $D$, donc pour tout $x\in D$ :

$u'(x)=10x$

$v'(x)=2$

$v$ ne s'annule pas sur $D$ donc, d’après le théorème, $f$ est dérivable sur $D$ et, pour tout $x\in D$ :

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}}\\&={\frac {10x(2x+3)-2(5x^{2}+3)}{(2x+3)^{2}}}\\&={\frac {20x^{2}+30x-10x^{2}-6}{(2x+3)^{2}}}\\&={\frac {10x^{2}+30x-6}{(2x+3)^{2}}}.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}f'(3)&={\frac {10\times 3^{2}+30\times 3-6}{(2\times 3+3)^{2}}}\\&={\frac {90+90-6}{9^{2}}}\\&={\frac {174}{81}}\\&={\frac {58}{27}}.\end{aligned}}$

 

Exemple 2

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto {\frac {-5x+3}{2x^{3}-5}}$, définie sur $D=\mathbb {R} \backslash \left\{{\sqrt[{3}]{\frac {5}{2}}}\right\}$.

Pour tout $x\in D$ : $u(x)=\cdots$ $v(x)=\cdots$ $u'(x)=\cdots$ $v'(x)=\cdots$ $f'(x)=\cdots$ $f'(3)=\cdots$

Solution

Pour tout $x\in D$, $u(x)=-5x+3$ et $v(x)=2x^{3}-5$.

• $u$ et $v$ sont dérivables sur $D$, donc pour tout $x\in D$ :

$u'(x)=-5$

$v'(x)=6x^{2}$

$v$ ne s'annule pas sur $D$ donc, d’après le théorème, $f$ est dérivable sur $D$ et, pour tout $x\in D$ :

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}}\\&={\frac {-5(2x^{3}-5)-(-5x+3)\cdot (6x^{2})}{(2x^{3}-5)^{2}}}\\&={\frac {-10x^{3}+25+30x^{3}-18x^{2}}{(2x^{3}-5)^{2}}}\\&={\frac {20x^{3}-18x^{2}+25}{(2x^{3}-5)^{2}}}.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}f'(3)&={\frac {20\times 3^{3}-18\times 3^{2}+25}{(2\times 3^{3}-5)^{2}}}\\&={\frac {540-162+25}{(54-5)^{2}}}\\&={\frac {403}{2401}}.\end{aligned}}$