Fonction dérivée/Extremum local
Extremum local
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- On a une définition similaire pour un minimum local :
- ƒ(x0) est un minimum local de ƒ signifie que l'on peut trouver un intervalle ouvert J contenant x0 tel que
pour tout : .
- On rassemble maximum et minimum sous le qualificatif extremum.
Théorèmes
modifierSoient ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un réel intérieur à I qui n'est pas une borne de I.
Si est un extremum local de ƒ, alors .
La réciproque de ce théorème est fausse, voir infra l'exemple de la fonction cube. |
Soient ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un réel intérieur à I qui n'est pas une borne de I.
Si s'annule en en changeant de signe, alors est un extremum local de f.
Exemple de la fonction cube
modifier- Énoncer une condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'une fonction ƒ dérivable sur I admette un extremum local en x0 intérieur à I.
- Énoncer la réciproque de ce théorème.
- Démontrer que dans le cas de la fonction définie sur par , cette réciproque est fausse.
- Que « manque-t-il » à la fonction pour que admette un extremum local en 0 ?
- 1. Énoncer une condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'une fonction ƒ dérivable sur I admette un extremum local en x0 intérieur à I.
Pour qu'une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I admette un extremum local en un réel intérieur à I, il est nécessaire que . Cette condition n'est cependant pas suffisante.
- 2. Énoncer la réciproque de ce théorème.
La réciproque est « Si une fonction ƒ dérivable sur un intervalle I vérifie en un réel x0 intérieur à I l'égalité , alors ƒ admet un extremum local en x0 »
- 3. Démontrer que dans le cas de la fonction définie sur par , cette réciproque est fausse.
La fonction cube est dérivable sur et, pour tout .
On a donc ƒ'(0) = 0.
Or, la fonction cube n'admet pas d'extremum local au point d'abscisse 0. En effet, la fonction cube est strictement croissante ! La réciproque énoncée en 2 est donc fausse.
- 4 Que « manque-t-il » à la fonction pour que admette un extremum local en 0 ?
Il faudrait, pour avoir un extremum en 0, que le sens de variation de ƒ change en passant par 0. Or, pour tout .
Il « manque » donc à ƒ' un changement de signe.