Fonction dérivée/Dérivée et variations
Sens de variation
modifierLien entre nombre dérivé et sens de variation
modifierSoit ƒ une fonction dérivable sur son intervalle de définition I.
On a vu que, en tout point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ dans un repère. De cette propriété, on voit émerger la constatation suivante :
- Si , la tangente à la courbe de ƒ en a est croissante. Cela induit que, sur une petite zone autour de a, la courbe de ƒ est nécessairement croissante pour pouvoir être tangente à la droite.
- Au contraire, si la tangente est décroissante. La courbe de ƒ doit alors nécessairement être décroissante sur une petite zone autour de a pour pouvoir satisfaire à la même propriété.
Théorème global
modifierSoit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si sa fonction dérivée est positive (au sens large) sur I, alors la fonction ƒ est croissante sur I.
- De même, si sa fonction dérivée est négative sur I, alors la fonction ƒ est décroissante sur I.
- Par conséquent, si est nulle sur I, alors ƒ est constante sur I.
On s'intéresse à présent à la stricte croissance de ƒ sur l'intervalle I. Pour cela, il faut remarquer que, si en un point , la tangente à la courbe de ƒ est une droite horizontale.
La fonction ƒ ne sera pas strictement croissante s'il existe des intervalles non réduits à un point où ƒ reste constante, c'est-à-dire s'il n'existe que quelques points isolés où ƒ' s'annule.
Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I
- Si pour tout sauf peut-être en un nombre fini de points où s'annule, alors ƒ est strictement croissante sur I.
- De même, si pour tout sauf peut-être en un nombre fini de points où s'annule, alors ƒ est strictement décroissante sur I.
Exemples
modifierVérifier ce théorème sur les fonctions usuelles sur des intervalles convenables.
Pour tout
Pour tout
Pour tout
Exercices
modifier- Montrer sur un exemple simple que la réciproque du théorème « strict » est fausse si on enlève la précision : « sauf en un nombre fini de points ».
Il suffit de choisir une fonction constante sur un palier, comme expliqué plus haut.
- Étudier les variations de la fonction trinôme
- On commence par dériver la fonction
- ƒ est dérivable et, pour tout
- On étudie ensuite le signe de la dérivée
- Soit
- Donc
- ƒ' est strictement positive sur
- ƒ' est strictement négative sur
- On en déduit les variations de ƒ :
ƒ est strictement décroissante sur et strictement croissante sur |
ƒ atteint son minimum en
Tableaux de variations
modifierPour mettre en relation le signe de la dérivée et les variations d'une fonction,
on utilise un tableau de signe et variations comme ci-dessous :
- Remarques
- Noter la différence de légende : on parle du signe de et des variations de la fonction .
- Les flèches désignent conventionnellement sauf indication contraire des croissances et décroissances strictes.