Fonction dérivée/Dérivée et variations

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Dérivée et variations
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Chapitre no 5
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. :Dérivées usuelles
Chap. suiv. :Extremum local

Exercices :

Étude de fonctions polynômes du second degré
Exercices :Étude de fonctions polynômes du troisième degré
Exercices :Dérivée et variations
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Fonction dérivée/Dérivée et variations
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Sens de variationModifier

Lien entre nombre dérivé et sens de variationModifier

Soit ƒ une fonction dérivable sur son intervalle de définition I.

On a vu que, en tout point   est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de ƒ dans un repère. De cette propriété, on voit émerger la constatation suivante :

  • Si  , la tangente à la courbe de ƒ en a est croissante. Cela induit que, sur une petite zone autour de a, la courbe de ƒ est nécessairement croissante pour pouvoir être tangente à la droite.
  • Au contraire, si   la tangente est décroissante. La courbe de ƒ doit alors nécessairement être décroissante sur une petite zone autour de a pour pouvoir satisfaire à la même propriété.

 

Théorème globalModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


On s'intéresse à présent à la stricte croissance de ƒ sur l'intervalle I. Pour cela, il faut remarquer que, si en un point  , la tangente à la courbe de ƒ est une droite horizontale.

La fonction ƒ ne sera pas strictement croissante s'il existe des intervalles non réduits à un point où ƒ reste constante, c'est-à-dire s'il n'existe que quelques points isolés où ƒ' s'annule.

 

Début d’un théorème
Fin du théorème


ExemplesModifier

Vérifier ce théorème sur les fonctions usuelles sur des intervalles convenables.

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ExercicesModifier

  • Montrer sur un exemple simple que la réciproque du théorème « strict » est fausse si on enlève la précision : « sauf en un nombre fini de points ».
  • Étudier les variations de la fonction trinôme  

Tableaux de variationsModifier

Pour mettre en relation le signe de la dérivée et les variations d'une fonction,

on utilise un tableau de signe et variations comme ci-dessous :


 

Remarques
  • Noter la différence de légende : on parle du signe de   et des variations de la fonction  .
  • Les flèches désignent conventionnellement sauf indication contraire des croissances et décroissances strictes.