Fonction exponentielle/Annexe/Construction de l'exponentielle par la méthode d'Euler

Pour un entier naturel n non nul, on pose $h={\frac {1}{n}}$, et on découpe l'intervalle $[0;1]$ à l'aide des nombres :

$x_{0}=0;x_{1}=h;x_{2}=2h;...x_{n}=nh=1$.

a) En considérant l'équation différentielle $f'=f$, proposer une approximation de $e^{x_{k+1}}$ connaissant $e^{x_{k}}$.

b) Prenons n = 5. Sachant que $e^{0}=1$, calculer avec un tableur les valeurs de $e^{x_{k}}$ pour les valeurs de k comprises entre 0 et n. Placer ces valeurs sur un graphique.

c) Prenons $n=100$. Sachant que $e^{0}=1$, calculer avec un tableur les valeurs de $e^{x_{k}}$ pour les valeurs de k comprises entre 0 et n. En utilisant les fonctionnalités graphiques du tableur, placer ces valeurs sur un graphique.

Solution

a) On approche la valeur $f'(x_{k})$ par la dérivée discrète à gauche : $f'(x_{k})\simeq {\frac {f(x_{k+1})-f(x_{k})}{h}}$.

Il vient ainsi :

$f'(x_{k})=f(x_{k})\Rightarrow {\frac {f(x_{k+1})-f(x_{k})}{h}}=f(x_{k})\Rightarrow f(x_{k+1})=(1+h)f(x_{k})\Rightarrow e^{x_{k+1}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)e^{x_{k}}$.

b) De la formule précédente, on déduit :

$e^{x_{k}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{k}e^{x_{0}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{k}$ car $e^{x_{0}}=1$

On obtient : ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|}k&0&1&2&3&4&5\\\hline e^{x_{k}}&1&1,2&1,44&1,728&2,0736&2,48832\\\hline \end{array}}$

c) De la formule précédente, on déduit :

$e^{x_{k}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{k}e^{x_{0}}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{k}$ car $e^{x_{0}}=1$

On obtient : ${\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|}k&0&1&2&3&4&5&\ldots &100\\\hline e^{x_{k}}&1&1,01000&1,02010&1,03030&1,04060&1,05101&\ldots &2,7048138294\\\hline \end{array}}$

 

Le graphique de la question b), représentant les valeurs de $e^{x_{k}}$ est le suivant :

Valeur approchée de l'exponentielle pour n = 5

Le graphique de la question c), représentant les valeurs de $e^{x_{k}}$ est le suivant :

Valeur approchée de l'exponentielle pour n = 100