Fonction exponentielle/Annexe/Activité d'introduction
La fonction carré
modifierSoit la fonction définie sur par .
- Donner l’expression de .
- Donner une relation entre et .
Cette relation peut être vue comme une équation différentielle dont l'inconnue est une fonction (ici , notée plus généralement ), dont la fonction carré est solution.
Solution
- Pour tout , .
- . La fonction carré est donc solution de l'équation différentielle d'inconnue .
La fonction inverse
modifierOn définit la fonction sur par .
- Donner l’expression de .
- Donner une équation différentielle d'inconnue y, dont la fonction inverse est solution.
Solution
- Pour tout , .
- . La fonction inverse est donc solution de l'équation différentielle .
La fonction cosinus
modifier- Donner les expressions de et .
- Donner une équation différentielle d'inconnue y dont la fonction cosinus est solution, en utilisant l’expression de .
Solution
- donc .
- . La fonction cosinus est donc solution de l'équation différentielle .
Exponentielle
modifierSupposons qu’il existe une fonction qui vérifie l'équation différentielle sur et supposons que
- Expliquer pourquoi cette fonction sera nécessairement croissante.
- Que penser de sa « vitesse de croissance » ?
Solution
- Montrons par l'absurde que (ainsi, on aura , c'est-à-dire croissante). Supposons donc qu'il existe un réel , par exemple positif (le cas négatif est analogue), tel que . D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe entre et des réels tels que . Considérons le plus grand d'entre eux (son existence n'est pas immédiate mais est démontrée au niveau 14). Alors, sur , donc est décroissante, ce qui contredit .
- Si , on aura , ce qui implique que la fonction est croissante au voisinage de 0. Lorsque x grandit, f(x) augmente de valeur encore plus rapidement. Comme la fonction est croissante et égale à sa propre dérivée, la pente de la tangente à la courbe de f est également croissante, ce qui signifie que la courbe se met à monter de plus en plus rapidement. La vitesse de croissance est alors extrêmement grande.