Fonction exponentielle/Annexe/Restitution organisée de connaissances

Exercice 1

L'exercice proposé ici constitue une ROC ou "Question de cours" ou "démonstration de cours", spécifiquement au programme du bac S.

Les prérequis sont des propositions admises ici, qui doivent servir à démontrer le résultat demandé.

Prérequis

1. exp est une fonction dérivable sur $\mathbb {R}$.
2. sa fonction dérivée est $exp'(x)=exp(x)$ pour tout x de $\mathbb {R}$.
3. $exp(0)=1$

Résultat à démontrer

En utilisant ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement la vérité des propositions suivantes :

a) Pour tout réel x, $exp(x)\times exp(-x)=1$.

b) Pour tout réel a et pour tout réel x, $exp(a+x)=exp(a)\times exp(x)$.

Application

c) Pour tout réel x, $exp(x)>0$

d) Pour tout réel x, $exp(x)+exp(-x)\geq 2$.

Exercice 2

Définition

Il existe une unique fonction dérivable de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, appelée fonction exponentielle et notée exp, qui vérifie :

• $\exp(0)=1$
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\exp '(x)=\exp(x)$

Autrement dit, l'exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et valant 1 en 0.

Existence : On admet ici l’existence de la fonction exponentielle (qui peut être démontrée en calcul intégral).

Unicité :

• Remarquons tout d’abord que f ne s'annule pas sur $\mathbb {R}$.

En effet, la fonction définie par $\phi (x)=f(x)\times f(-x)$ a pour dérivée :

$\phi '(x)=..................................................................$.

donc $\phi$ est ................ et comme $\phi (0)=1$,

on en déduit $\phi (x)=.........$ pour tout x.

Finalement $f(x)\times f(-x)=..............$ pour tout x

donc $f(x)$ ne .......................... pas.

• Soit g une autre fonction dérivable sur $\mathbb {R}$ telle que :

$g'=g$ et $g(0)=1$,

alors $h={\frac {g}{f}}$ est définie et dérivable sur $\mathbb {R}$ (car f ne s'annule pas).

Alors $h'=........................................................................$

donc h est ............................ sur $\mathbb {R}$.

Or $h(0)={\frac {g(0)}{f(0)}}=...........................................$

donc $g=........................................$.

Exercice 3

En utilisant uniquement les propriétés algébriques de la fonction exponentielle et le fait qu’elle ne s’annule pas sur $\mathbb {R}$, démontrer que pour tout x de $\mathbb {R}$ :

$e^{x}>0$.