Fonction génératrice/Fonction génératrice d'un couple de variables aléatoires

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Nous supposerons, pour simplifier, que les variables aléatoires X et Y de la définition ci-dessous prennent un nombre fini de valeurs inclues dans 〚1;n〛.

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Définition

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires. Nous appellerons fonction génératrice associée au couple de variables aléatoires la fonction G définie par : $G(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{i}(1+y)^{j}$

Pour simplifier, nous supposerons que la fonction G est de classe C² en tout point.

Propriété 1

On a :

$E(X)={\frac {\partial G}{\partial x}}(0,0)$

$E(Y)={\frac {\partial G}{\partial y}}(0,0)$

Début d'une démonstration

Démonstration

On a :

${\frac {\partial G}{\partial x}}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{i-1}(1+y)^{j}$

Par conséquent :

${\begin{aligned}{\frac {\partial G}{\partial x}}(0,0)&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.p(X=i\cap Y=j)(1+0)^{i-1}(1+O)^{j}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.p(X=i\cap Y=j)\\&=\sum _{i=1}^{n}i.\sum _{j=1}^{n}p(X=i\cap Y=j)\\&=\sum _{i=1}^{n}i.p(X=i)\\&=E(X)\end{aligned}}$

Démonstration symétrique pour E(Y).

Fin de la démonstration

Propriété 2

On a :

$Cov(X,Y)={\frac {\partial ^{2}G}{\partial x.\partial y}}(0,0)-{\frac {\partial G}{\partial x}}(0,0).{\frac {\partial G}{\partial y}}(0,0)$

Début d'une démonstration

Démonstration

On a :

${\frac {\partial ^{2}G}{\partial x.\partial y}}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.j.p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{i-1}(1+y)^{j-1}$

Par conséquent :

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial x.\partial y}}(0,0)&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.j.p(X=i\cap Y=j)(1+0)^{i-1}(1+O)^{j-1}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.j.p(X=i\cap Y=j)\\&=E(XY)\end{aligned}}$

On en déduit :

$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)={\frac {\partial ^{2}G}{\partial x.\partial y}}(0,0)-{\frac {\partial G}{\partial x}}(0,0).{\frac {\partial G}{\partial y}}(0,0)$

Fin de la démonstration

Propriété 3

On a :

$Var(X)={\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial G}{\partial x}}\left(1-{\frac {\partial G}{\partial x}}\right)$

Début d'une démonstration

Démonstration

On a :

${\frac {\partial G}{\partial x}}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{i-1}(1+y)^{j}$

Par suite :

${\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i(i-1).p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{(i-2)}(1+y)^{j}$

Par conséquent :

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}(0,0)&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i(i-1).p(X=i\cap Y=j)(1+0)^{(i-2)}(1+0)^{j}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i(i-1).p(X=i\cap Y=j)\\&=\sum _{i=1}^{n}i(i-1).\sum _{j=1}^{n}p(X=i\cap Y=j)\\&=\sum _{i=1}^{n}i(i-1).p(X=i)\\&=E(X(X-1))\end{aligned}}$

On en déduit :

${\begin{aligned}Var(X)&=E(X^{2})-(E(X))^{2}\\&=E(X(X-1))+E(X)-(E(X))^{2}\\&=E(X(X-1))+E(X)(1-(E(X))\\&={\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial G}{\partial x}}\left(1-{\frac {\partial G}{\partial x}}\right)\end{aligned}}$

Fin de la démonstration

De façon similaire, on a aussi :

Propriété 4

On a :

$Var(Y)={\frac {\partial ^{2}G}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}\left(1-{\frac {\partial G}{\partial y}}\right)$

Début d'une démonstration

Démonstration

Même démonstration que pour la propriété 3.

Fin de la démonstration