Étude et tracé d'une fonction/Annexe/Fonction racine carrée

Si la fonction racine carrée n’est pas définie sur $\mathbb {R}$ mais seulement sur $\left[0,+\infty \right[$, c’est parce qu'un nombre négatif n’a pas de racine carrée dans $\mathbb {R}$. Afin de donner un résultat numérique à la racine carrée d'un nombre négatif, il faut se placer dans $\mathbb {C}$. Ainsi la fonction étudiée dans ce cours pourrait être qualifiée de « Fonction racine carrée réelle ».

Représentation graphique de la fonction racine carrée.

Définition

La fonction racine carrée est la fonction qui à tout $x\in \left[0,+\infty \right[$ associe la racine carrée de $x$, notée ${\sqrt {x}}$.

Fonction dérivée

Propriété

La fonction dérivée de la fonction racine carrée est donnée par : ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt {x}}:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto {1 \over 2{\sqrt {x}}}$.

Démonstration

Notons $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ la fonction racine carrée.

Si $a>0$ alors, pour tout $h\geq -a$ tel que $h\neq 0$,

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {{\sqrt {a+h}}-{\sqrt {a}}}{h}}={\frac {({\sqrt {a+h}}-{\sqrt {a}})({\sqrt {a+h}}+{\sqrt {a}})}{h({\sqrt {a+h}}+{\sqrt {a}})}}={\frac {a+h-a}{h({\sqrt {a+h}}+{\sqrt {a}})}}={\frac {h}{h({\sqrt {a+h}}+{\sqrt {a}})}}={\frac {1}{{\sqrt {a+h}}+{\sqrt {a}}}}$.

On obtient alors $\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {1}{{\sqrt {a+0}}+{\sqrt {a}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}$. La fonction est bien dérivable pour tout réel $a$ strictement positif.

Si $a=0$ alors, pour tout $h>0$, on a

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {\sqrt {h}}{h}}={\frac {1}{\sqrt {h}}}$

et $\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {1}{\sqrt {h}}}=+\infty$. Donc $f$ n’est pas dérivable en $0$.

 

Corollaire

La fonction racine carrée est strictement croissante sur son ensemble de définition.

Représentation graphique de la fonction racine carrée (en vert) et de sa dérivée (en rouge).

Propriété complémentaire

Propriété

Pour tous réels $y\geq x\geq 0$, on a : $0\leq {\sqrt {y}}-{\sqrt {x}}\leq {\sqrt {y-x}}$.

(Pour cette raison, la fonction racine carrée est dite « ${\tfrac {1}{2}}$-höldérienne ».)

Démonstration

Pour tous réels $y\geq x\geq 0$,

${\sqrt {x}}\leq {\sqrt {y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y-x}}\quad {\text{car }}x\leq y\leq x+2{\sqrt {x(y-x)}}+y-x$.