Topologie générale/Espace métrique

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Espace métrique
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Chapitre no 9
Leçon : Topologie générale
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Exercices :

Espaces métriques
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Topologie générale/Espace métrique
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La notion d'espace métrique est historiquement la première structure topologique, bien que formellement, la notion d'espace topologique, plus vaste mais plus abstraite, soit traitée prioritairement dans cet exposé de topologie. La définition d’un espace métrique est proche de l'intuition, puisque les propriétés topologiques de ces espaces ne sont pas directement définis à partir d’un ensemble d'ouverts, appelé topologique, mais à partir d’une application nommée distance, ou métrique, qui permet de donner un rôle plus important à l'intuition géométrique.

Définition et exemplesModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


BoulesModifier

On trouve parfois la notation   pour la boule fermée, cette notation est ambigüe car elle peut aussi s'interpréter comme la fermeture de la boule ouverte. Ces deux interprétations ne concordent pas en générale, par exemple pour la distance discrète on a   et  . Cette notation abusive est utilisée car elle n'est pas gênante dans les espaces vectoriels pour lesquelles les deux notations concordent.

Début d'un lemme
Fin du lemme


TopologieModifier

D'après le corollaire 2, les boules ouvertes de   constituent une base d'une (unique) topologie sur  .

On assimile souvent un espace métrique à son espace topologique. Tout espace métrique est séparé et même parfaitement normal.

Les ouverts de cette topologie sont, par définition, les réunions de boules ouvertes. Le corollaire 1 ci-dessus en donne une caractérisation.

Les boules ouvertes sont évidemment des ouverts, et l'on démontre facilement (exercice) que les boules fermées sont des fermés. Par conséquent, l'adhérence de   est incluse dans   et l'intérieur de   contient   (exercice).

Dans un espace vectoriel normé, pour tout  , ces inclusions sont des égalités (exercice).

  Dans un espace métrique quelconque, ces inclusions peuvent être strictes.

Considérer par exemple (exercice) les boules et la topologie associées à une distance discrète.

Dans un espace métrique, tout point a une base dénombrable de voisinages. Plus précisément :

C'est une conséquence directe du lemme ci-dessus. En l'affinant un peu, on démontre même (exercice) que toute suite de voisinages de   dont le diamètre tend vers   constitue une base de voisinages de  .

Continuité uniformeModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Produit d'espaces métriquesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème