Fonctions affines et linéaires/Équation réduite d'une droite

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Cas général

Le plan est muni d'un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$.

Début d’un théorème

Théorème

Soient a et b deux nombres réels.

L'ensemble des points M(x;y) du plan qui vérifient l'équation : $y=a\times x+b$ est une droite D du plan.

Le coefficient a s’appelle coefficient directeur de la droite D.

Le coefficient b s’appelle ordonnée à l'origine de la droite D.

Fin du théorème

Cas particuliers

Propriété

• Si l'ordonnée à l'origine b est nulle (b = 0) : la droite D passe par le point origine O(0;0). La fonction est linéaire.
• Si le coefficient directeur a est nul (a = 0) : la droite D est parallèle à l'axe des abscisses. La fonction est constante.
• Si les coefficients a et b sont nuls : la droite D est l'axe des abscisses.

Coefficient directeur

Propriété

Considérons une droite D d'équation $y=a\times x+b$ et deux points $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ de D.

Le coefficient directeur a est calculé comme suit :

$a={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}$.

Positions relatives de deux droites

Début d’un théorème

Théorème

Dans le plan, deux droites peuvent avoir les positions relatives suivantes :

• Strictement parallèles : les droites n'ont aucun point d'intersection.
• Confondues : les droites ont tous leurs points en commun.
• Sécantes : les droites ont un point d'intersection unique.

Fin du théorème

Remarque

« Parallèles » signifie : soit confondues, soit strictement parallèles.

Étudier les positions relatives de deux droites consiste à déterminer dans quel cas on se trouve, et si les droites sont sécantes, à déterminer les coordonnées du point d'intersection.

Début d’un théorème

Théorème

Deux droites sont :

• Parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.
• Strictement parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux et leurs ordonnées à l'origine sont différentes.
• Sécantes si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents.

Fin du théorème

Coefficient directeur et alignement

Début d’un théorème

Théorème

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si

• Les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC) ont des valeurs égales.

ou

• Les droites (AB) et (AC) sont toutes les deux parallèles à l'axe des ordonnées.

Fin du théorème