Fonctions affines et linéaires/Fonctions affines

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Fonctions affines et linéaires

Définition

• On dit qu'une quantité f(x) est fonction affine d'une autre quantité variable x quand ces quantités ont une relation décrite par l'équation suivante : $f(x)=a\times x+b$

Le coefficient a s’appelle coefficient directeur.

Le coefficient b s’appelle ordonnée à l'origine.

• Si l'ordonnée à l'origine b est nulle (b=0), on dit que la fonction est linéaire.
• Dans ce cas, f et x sont proportionnelles.

Remarque : La notation f(x) se lit "f de x". Elle indique que la quantité f dépend de x.

Exemple : Un complexe cinématographique propose un abonnement de 20 Euros par an, avec lequel la séance coûte 5 Euros. Sans abonnement, la séance coûte 8 Euros. Notons n le nombre de séances, A le coût de n séances avec abonnement, et S le coût de n séances sans abonnement.

• Exprimer A et S en fonction de n.
• À quels types de fonctions correspondent ces formules ?

Solution

$S=8\times n\ \ \ \ \ A=20+5\times n$

La somme S est proportionnelle au nombre de séances n, et

$S=8\times n$

est une relation de proportionnalité. S est donc une fonction linéaire de n.

La somme A n’est pas proportionnelle au nombre de séances, et

$A=20+5\times n$

n'est pas une relation de proportionnalité, mais A est une fonction affine de n.

 

Remarque : D'après la définition, les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières. Toutes les propriétés ci-dessous s'appliquent donc également aux fonctions linéaires, avec des particularités supplémentaires que nous signalerons au fur et à mesure.

Définition

On appelle f(x) l'image du nombre x par la fonction f.

Exemple : Soit la fonction affine $f(x)=2\times x+3$.

• Donner les valeurs des coefficients a et b.
• Calculer les images des nombres x = 0, x = 2 et x = -3 par f.

Solution

Les coefficients de l'équation $f(x)={2}\times {x}+3$ sont: $a=2$ et $b=3$

Pour calculer l'image des nombres ${\text{x = 0, x = 2 et x = -3}}$ en fonction de $f(x)={2}\times {x}+3$ il faut remplacer x par sa valeur dans l'équation, soit:

Pour x=0

$f(x)={2}\times {0}+3=\mathbf {3}$

Pour x=2

$f(x)={2}\times {2}+3=4+3=\mathbf {7}$

Pour x=-3

$f(x)={2}\times {-3}+3=-6+3=\mathbf {-3}$

 

Représentation graphique d'une fonction affine

Tableau de valeurs d'une fonction affine

Définition

Un tableau de valeurs contient dans une première ligne les valeurs de x et dans la seconde ligne les valeurs de f(x) correspondantes, calculées avec la formule $f(x)=a\times x+b$

Exemple : Considérons la fonction affine $f(x)=2\times x+3$.

Compléter le tableau de valeurs suivant :

x	0	1	2	3	4
f(x)

​

Solution :

Par exemple pour la troisième colonne : x = 1

$f(x)=f(1)=2\times 1+3=2+3=5$.

Cela donne au final :

x	0	1	2	3	4
f(x)	3	5	7	9	11

Droite représentative

• Pour représenter graphiquement une fonction à partir d’un tableau de valeurs,

on place en abscisses (horizontalement) les valeurs de x

et en ordonnées (verticalement) les valeurs de f(x).

Exemple : Pour la fonction affine $f(x)=2\times x+3$. On a complété le tableau de valeurs :

x	0	1	2	3	4
f(x)	3	5	7	9	11

On obtient donc le graphique suivant :

Définition

• La représentation graphique d'une fonction affine $f(x)=a\times x+b$

est toujours une droite d'équation $y=a\times x+b$

• Si la fonction est linéaire (b = 0), la droite passe par l'origine (situation de proportionnalité).

On comprend alors pourquoi on appelle le coefficient b : ordonnée à l'origine.

Calcul des coefficients a et b à partir de deux valeurs d'une fonction affine

Deux valeurs issues d'un tableau ou d'un graphique suffisent à déterminer complètement une fonction affine, car "par deux points, il passe une unique droite".

Formule pour le coefficient directeur

Début d’un théorème

Théorème

Considérons une fonction affine $f(x)=a\times x+b$, deux points d'abscisses $x_{1}$ et $x_{2}$ et d'ordonnées $y_{1}$ et $y_{2}$, alors le coefficient directeur a vaut :

$a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$

$a={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Fin du théorème

Exemple :

• Pour la fonction affine $f(x)=2\times x+3$, nous avons dans le tableau de valeurs

f(2) = 7 et f(3) = 9. Retrouvons a grâce à la formule, en prenant $x_{2}=3$ et $x_{1}=2$.

$a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(3)-f(2)}{3-2}}={\frac {9-7}{3-2}}={\frac {2}{1}}=2$

• Pour retrouver b, il suffit d’utiliser une valeur et résoudre une équation :

$f(2)=7=2\times 2+b=7$

donc

$7-4=b=3$

• On pourrait également trouver a et b en résolvant le système d'équations :

${\begin{cases}a\times 2+b=7,&{\text{valeur pour x = 2}}\\a\times 3+b=9,&{\text{valeur pour x = 3}}\end{cases}}$