Fonctions affines et linéaires/Fonctions linéaires

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Définition

Définition

Soit a un nombre réel fixé.
La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à tout réel x, associe ax, c'est-à-dire:
Pour tout réel x, $f(x)=ax$

Remarques:

• $f(0)=0$ pour toutes les fonctions linéaires, car $a\times 0=0$.

$a$ est toujours différent de x (a est fixé, x est la variable de la fonction).

• Pour $x,y$ deux réels, on a :

$f(x+y)=a\times (x+y)$
$=a\times x+a\times y$

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

Exemple : On pose $f$ telle que pour tout réel x, $f(x)=3\times x$.

On a alors $f(8)=f(4)+f(4)=f(2)+f(6)$,

En effet $f(8)=3\times 8=24,f(4)=3\times 4=12,f(2)=3\times 2=6,f(6)=3\times 6=18$

• Pour $x,y$ deux réels, on a :

$f(x\times y)=a\times (x\times y)$

$=a\times x\times y$ (la multiplication est dite associative, l'ordre des opérations ne compte pas).

$=x\times a\times y$ (la multiplication est commutative, $a\times b=b\times a$).

$=x\times (a\times y)$

$f(x\times y)=x\times f(y)$

Exemple : On reprend $f$ telle que pour tout réel x, $f(x)=3\times x$.

On a alors $f(8)=2\times f(4)=4\times f(2)=8\times f(1)=0,8\times f(10)$,

Exemples

$f(x)=2x$
$g(x)=-5x$

Représentation graphique

Définition

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
L'équation de sa droite est du type: $y=ax$.

Schéma de rédaction:
On sait que la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
Pour tracer une droite, il suffit d’avoir deux points:

$x$	0	a
$f(x)$	0	b

Donc la représentation graphique de f est une droite passant par les points O(0;0) et A(a;b).
Exemple de représentation graphique :

Fonction linéaire