Fonctions circulaires/Dérivées des fonctions circulaires

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Dérivées des fonctions circulaires

Le théorème suivant sera démontré dans la leçon « Fonctions trigonométriques ».

Début d’un théorème

Théorème

• La fonction $\cos$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et $\cos '=-\sin$.
• La fonction $\sin$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ et $\sin '=\cos$.
• La fonction $\tan$ est dérivable sur $\mathbb {R}$ \ $\{(2k+1)\times \pi /2}\$, et $\tan '=1+\tan ^{2}={\frac {1}{\cos ^{2}}}$.

Fin du théorème

Exercice

Rappel : soit une fonction g définie par g(x) = f(ax + b) où f est une fonction dérivable, alors g est dérivable et sa dérivée est donnée par :

$g'(x)=af'(ax+b)$.

Dériver les fonctions suivantes définies sur $\mathbb {R}$ :

1. $f(x)=\cos {(3x+2)}$ ;
2. $f(x)=\sin {(2x)}$ ;
3. $i(t)=2\cos {(\omega t-\phi )}$ (exemple d'un courant sinusoïdal dans un circuit, où $\omega$ est la « pulsation » et $\phi$ la « phase ») ;
4. $f(x)=\sin {\frac {x}{2}}$ ;
5. $f(x)=\cos {(-3x-7)}$.

Solution

1. $f'(x)=-3\sin {(3x+2)}$.
2. $f'(x)=2\cos {(2x)}$.
3. $i'(t)=-2\omega \sin {(\omega t-\phi )}$.
4. $f'(x)={\frac {1}{2}}\cos {\frac {x}{2}}$.
5. $f'(x)=3\sin {(-3x-7)}$.