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Exercice : Mesures d'angles en radians, cosinus et sinusFonctions circulaires/Exercices/Mesures d'angles en radians, cosinus et sinus », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Le cercle C de rayon 1 centré en l'origine est appelé cercle trigonométrique . On l'oriente positivement dans le sens anti-horaire et négativement dans le sens horaire.
Soit
A
{\displaystyle A}
le point de coordonnées
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
.
On se place dans un repère orthonormé direct.
Une mesure en radian de l'angle orienté
(
O
A
→
,
O
M
→
)
{\displaystyle ({\vec {OA}},{\vec {OM}})}
est la longueur d'une ficelle (ou une ligne) joignant le point
A
{\displaystyle A}
au point
M
{\displaystyle M}
, enroulée autour du cercle trigonométrique. Cette longueur est comptée positivement ou négativement en fonction du sens d'enroulement.
Remarque : Un angle donné possède une infinité de mesures qui se déduisent les unes des autres par addition ou soustraction de
2
k
π
{\displaystyle 2k\pi }
, où
k
{\displaystyle k}
est entier relatif.
Donner 5 autres mesures de l'angle
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
.
Solution
π
3
+
2
π
=
7
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}+2\pi ={\frac {7\pi }{3}}}
π
3
+
4
π
=
13
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}+4\pi ={\frac {13\pi }{3}}}
π
3
−
2
π
=
−
5
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}-2\pi =-{\frac {5\pi }{3}}}
π
3
−
4
π
=
−
11
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}-4\pi =-{\frac {11\pi }{3}}}
π
3
−
6
π
=
−
17
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}-6\pi =-{\frac {17\pi }{3}}}
Tout intervalle de longueur
2
π
{\displaystyle 2\pi }
, avec une borne ouverte et l'autre fermée, possède exactement une mesure d'un angle donné.
Donner une mesure dans
[
20
,
20
+
2
π
[
{\displaystyle [20,20+2\pi [}
de l'angle
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
.
Solution
π
3
+
8
π
=
25
π
3
≈
26
,
18
<
26
,
28
≈
20
+
2
π
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}+8\pi ={\frac {25\pi }{3}}\approx 26{,}18<26{,}28\approx 20+2\pi }
.
Tout nombre réel est une mesure, en radian, d'un unique angle orienté.
Représenter sur le cercle trigonométrique l'angle de mesure 123456,123456.
Solution
123456,123
456
−
19648
×
2
π
≈
4
,
1
≈
4
,
2
≈
4
π
3
{\displaystyle 123456{,}123456-19648\times 2\pi \approx 4{,}1\approx 4{,}2\approx {\frac {4\pi }{3}}}
.
La mesure principale d'un angle orienté est l'unique valeur de cet angle appartenant à l'intervalle
]
−
π
,
π
]
{\displaystyle ]-\pi ,\pi ]}
.
Donner la mesure principale de l'angle de mesure 123456,123456.
Solution
123456,123
456
−
19649
×
2
π
≈
−
2
π
3
{\displaystyle 123456{,}123456-19649\times 2\pi \approx -{\frac {2\pi }{3}}}
.
Soit x un nombre réel quelconque. Son sinus et son cosinus sont respectivement le sinus et le cosinus de l'angle dont x est une mesure.
Donner le sinus et le cosinus du nombre réel
256
π
3
{\displaystyle {\frac {256\pi }{3}}}
.
Solution
256
π
3
{\displaystyle {\frac {256\pi }{3}}}
a mêmes sinus et cosinus que
256
π
3
−
42
×
2
π
=
4
π
3
{\displaystyle {\frac {256\pi }{3}}-42\times 2\pi ={\frac {4\pi }{3}}}
.
sin
4
π
3
=
−
3
2
{\displaystyle \sin {\frac {4\pi }{3}}=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
et
cos
4
π
3
=
−
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {4\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}}
.
Placer sur le cercle les points correspondants aux angles orientés dont les mesures
α
{\displaystyle \alpha }
sont données dans le tableau.
En déduire les mesures principales correspondantes.
Point
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
α
3
π
4
5
π
6
−
4
π
3
13
π
3
−
23
π
4
51
π
−
38
π
3
43
π
4
−
28
π
6
11
π
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}{\text{Point}}&A&B&C&D&E&F&G&H&K&L\\\hline \alpha &{\frac {3\pi }{4}}&{\frac {5\pi }{6}}&{\frac {-4\pi }{3}}&{\frac {13\pi }{3}}&-{\frac {23\pi }{4}}&51\pi &-{\frac {38\pi }{3}}&{\frac {43\pi }{4}}&{\frac {-28\pi }{6}}&{\frac {11\pi }{2}}\\\hline \end{array}}}
Solution
Point
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
α
3
π
4
5
π
6
−
4
π
3
13
π
3
−
23
π
4
51
π
−
38
π
3
43
π
4
−
28
π
6
11
π
2
Mesure principale
3
π
4
5
π
6
2
π
3
π
3
π
4
π
−
2
π
3
3
π
4
−
2
π
3
−
π
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}{\text{Point}}&A&B&C&D&E&F&G&H&K&L\\\hline \alpha &{\frac {3\pi }{4}}&{\frac {5\pi }{6}}&{\frac {-4\pi }{3}}&{\frac {13\pi }{3}}&-{\frac {23\pi }{4}}&51\pi &-{\frac {38\pi }{3}}&{\frac {43\pi }{4}}&-{\frac {28\pi }{6}}&{\frac {11\pi }{2}}\\\hline {\text{Mesure principale}}&{\frac {3\pi }{4}}&{\frac {5\pi }{6}}&{\frac {2\pi }{3}}&{\frac {\pi }{3}}&{\frac {\pi }{4}}&\pi &-{\frac {2\pi }{3}}&{\frac {3\pi }{4}}&-{\frac {2\pi }{3}}&-{\frac {\pi }{2}}\\\hline \end{array}}}