Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation
Problème 1 (simple)
modifier(AB) est le rayon d'un cercle de centre A. Le rayon est égal à 1 unité de longueur.
C est un point de ce cercle et D le point de [BA) tel que BD = 5.
On note l'angle
Trouver pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.
Il faut exprimer l'aire de BCD en fonction de . Pour cela, on fait apparaître un point H, projeté orthogonal de C sur [BD). [CH] est donc une hauteur de BCD et :
- (car CA, rayon du cercle, vaut 1)
Et donc l'aire du triangle vaut :
- .
L'aire est donc maximale quand le sinus est maximal, c'est-à-dire pour .
Remarque : On a alors .
Problème 2
modifierest le rayon d'un cercle de centre A. Le rayon est égal à 1 unité de longueur.
C est un point de ce cercle et D un point tel que et .
On note l'angle et l'angle
Le but du problème est de trouver pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.
NB : On peut faire ce problème sans fixer (comme sur la figure), mais c'est plus difficile. On prend donc pour fixer les idées.
- Donner la relation entre et .
- Exprimer BC en fonction de
- Exprimer la hauteur h du triangle BCD issue de C en fonction de et .
- Exprimer la hauteur h du triangle BCD issue de C en fonction de seul.
- Dériver la fonction h par rapport à .
- Simplifier cette dérivée.
- Dans quel intervalle varie-t-il ?
- Dresser le tableau de variations de et conclure.
- Dans le triangle ABC, on a .
- .
- .
- .
- .
- D'après la formule , .
- varie dans donc varie dans .
- Finalement, varie dans . Son cosinus s'annule donc pour , c'est-à-dire ou .
Balistique
modifierOn se place dans un repère orthonormé .
Un projectile est lancé du point origine à une vitesse de .
On note : .
Le but du problème est de trouver pour que le projectile touche le sol le plus loin possible du point O.
Les lois de la physique donnent, en négligeant le frottement de l'air et la variation du champ de pesanteur :
- .
- Calculer l'abscisse du point de chute du projectile en fonction de .
- Calculer la dérivée
- En déduire le tableau de variations de .
- Conclure.
- Le projectile touche le sol au point de coordonnées ; il faut résoudre l'équation . On obtient les solutions et . Donc .
- .
- Le projectile touchera le sol le plus loin pour donc à une distance de 2,5 mètres de son origine.
Les anneaux
modifierOn considère un gymnaste aux anneaux. On note :
- A et A' les points de fixation des cordes ;
- D et D' les épaules du gymnaste ;
- E et E' ses mains ;
- r = DE = D'E' la longueur de ses bras ;
- L = AE = A'E' la longueur des cordes ;
- l'angle entre ses bras et l'horizontale ;
- l'angle entre les cordes et la verticale ;
- g l'intensité de la pesanteur ;
- m la masse du gymnaste ;
- T la réaction des anneaux, supposée identique des deux côtés.
Le but du problème est d'étudier la force qui s'exerce sur les mains du gymnaste en fonction de l'angle .
- Exprimer T en fonction de m, g et
- En exprimant la hauteur du triangle AED issue de E, exprimer en fonction de , r et L.
- En utilisant la formule , exprimer T en fonction de
- Décrire les variations la fonction .
- .
- donc .
- .
- donc est paire, croissante sur et décroissante sur . et .