Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation

Problème d'optimisation
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Exercices no2
Leçon : Fonctions circulaires
Chapitre du cours : Formules de duplication

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Mesures d'angles en radians, cosinus et sinus
Exo suiv. :Tangente
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Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation
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Problème 1 (simple)Modifier

(AB) est le rayon d'un cercle de centre A. Le rayon est égal à 1 unité de longueur.

C est un point de ce cercle et D le point de [BA) tel que BD = 5.

On note   l'angle  

Trouver   pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.

Problème 2Modifier

  est le rayon d'un cercle de centre A. Le rayon est égal à 1 unité de longueur.

C est un point de ce cercle et D un point tel que   et  .

On note   l'angle   et   l'angle  

Le but du problème est de trouver   pour que l'aire du triangle BCD soit maximum.

NB : On peut faire ce problème sans fixer   (comme sur la figure), mais c'est plus difficile. On prend donc   pour fixer les idées.

  1. Donner la relation entre   et  .
  2. Exprimer BC en fonction de  
  3. Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de   et  .
  4. Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de   seul.
  5. Dériver la fonction h par rapport à  .
  6. Simplifier cette dérivée.
  7. Dans quel intervalle   varie-t-il ?
  8. Dresser le tableau de variations de   et conclure.

BalistiqueModifier

On se place dans un repère orthonormé  .

Un projectile est lancé du point origine   à une vitesse de  .

On note :  .

Le but du problème est de trouver   pour que le projectile touche le sol le plus loin possible du point O.

Les lois de la physique donnent, en négligeant le frottement de l'air et la variation du champ de pesanteur :

 .
  1. Calculer l'abscisse   du point de chute du projectile en fonction de  .
  2. Calculer la dérivée  
  3. En déduire le tableau de variations de  .
  4. Conclure.

Les anneauxModifier

On considère un gymnaste aux anneaux. On note :

  • A et A' les points de fixation des cordes ;
  • D et D' les épaules du gymnaste ;
  • E et E' ses mains ;
  • r = DE = D'E' la longueur de ses bras ;
  • L = AE = A'E' la longueur des cordes ;
  •   l'angle entre ses bras et l'horizontale ;
  •   l'angle entre les cordes et la verticale ;
  • g l'intensité de la pesanteur ;
  • m la masse du gymnaste ;
  • T la réaction des anneaux, supposée identique des deux côtés.

Le but du problème est d'étudier la force qui s'exerce sur les mains du gymnaste en fonction de l'angle  .

  1. Exprimer T en fonction de m, g et  
  2. En exprimant la hauteur du triangle AED issue de E, exprimer   en fonction de  , r et L.
  3. En utilisant la formule  , exprimer T en fonction de  
  4. Décrire les variations la fonction  .