Fonctions circulaires/Exercices/Tangente

On considère la fonction tangente, $\tan ={\frac {\sin }{\cos }}$, et l'on note ${\mathcal {C}}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;{\vec {i}},{\vec {j}}\right)$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_{\tan }$ de cette fonction.

2.

a. Montrer que $\forall x\in D_{\tan }$ on a $x+\pi \in D_{\tan }$ et $\tan \left(x+\pi \right)=\tan(x)$.

b. Interpréter géométriquement ce résultat.

c. Sur quel intervalle suffit-il d'étudier la fonction ?

3.

a. Étudier la parité de la fonction $\tan$ et interpréter géométriquement le résultat.

b. Sur quel intervalle suffirait-il de faire l'étude de la fonction $\tan$ ?

4. Soit un réel $x\in \left]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$. Exprimer en fonction de $\tan(x)$ les réels $\tan(k\pi +x)$ où $k\in \mathbb {Z}$, $\tan(-x)$, $\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$ et $\tan \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)$.

5. Donner la valeur exacte des réels $\tan(0),\ \tan \left({\frac {\pi }{6}}\right),\ \tan \left({\frac {\pi }{4}}\right),\ \tan \left({\frac {\pi }{3}}\right)$.

6. Montrer que pour tout réel $x\in D_{\tan }$ on a $1+\tan(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$.

Solution

1. $\tan(x)={\frac {\sin x}{\cos x}}$ est défini si et seulement si $\cos x\neq 0$ d'où $D_{\tan }=\mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \right\}=\bigcup _{k\in \mathbb {Z} }\left]{\frac {-\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right[$.

2.

a. Pour tout $x\in D_{\tan }$, $\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x\neq 0$, ce qui prouve que $x+\pi \in D_{\tan }$.

De plus, $\tan(x+\pi )={\frac {\sin(x+\pi )}{\cos(x+\pi )}}={\frac {-\sin x}{-\cos x}}=\tan x$.

b. La fonction $\tan$ est π-périodique (c'est-à-dire périodique de période $\pi$). Géométriquement la courbe ${\mathcal {C}}$ se répète dans des translations de vecteur $k\pi {\vec {i}}$ où $k\in \mathbb {Z}$.

c. Il suffit d'étudier $\tan$ sur $\left]{\frac {-\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ (intervalle d'amplitude égale à une période, soit $\pi$) puis de translater la courbe obtenue par les translations de vecteur $k\pi {\vec {i}}$ où $k\in \mathbb {Z}$.

3.

a. Pour tout $x\in D_{\tan }$, $\cos(-x)=\cos x\neq 0$, ce qui prouve que $-x\in D_{\tan }$.

De plus, $\tan(-x)={\frac {\sin(-x)}{\cos(-x)}}={\frac {-\sin x}{\cos x}}=-\tan(x)$.

La fonction tangente est donc impaire. ${\mathcal {C}}$ est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.

b. Il suffirait juste d'étudier $\tan$ sur $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[$ puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O et enfin de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs $k\pi {\vec {i}}$ où $k\in \mathbb {Z}$.

4.

• D'après 2a, $\tan(k\pi +x)=\tan x$ pour tout $k\in \mathbb {Z}$.
• D’après 3a, $\tan(-x)=-\tan x$.
• Pour x≠0 : $\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}}={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}$.
• Pour x≠0 : $\tan \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)=\tan \left({\frac {\pi }{2}}+x-\pi \right)=\tan \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)=-\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-{\frac {1}{\tan x}}$.

5.

• $\tan 0={\frac {\sin 0}{\cos 0}}=0$
• $\tan \left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {\sin {\frac {\pi }{3}}}{\cos {\frac {\pi }{3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\times 2={\sqrt {3}}$.
• ${\frac {\pi }{6}}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{3}}$ donc $\tan \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{\tan \left({\frac {\pi }{3}}\right)}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}$.
• De même, $\tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {1}{\tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)}}$ donc (puisque $\tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)>0$) $\tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)=1$.

6. $\forall x\in D_{\tan }$, on a $1+\tan ^{2}x=1+{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$.