On considère la fonction tangente,
, et l'on note
sa courbe représentative dans un repère orthonormé
.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Étude de la fonction tangente
Fonctions circulaires/Exercices/Tangente », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
1. Déterminer l’ensemble de définition
de cette fonction.
2.
- a. Montrer que
on a
et
.
- b. Interpréter géométriquement ce résultat.
- c. Sur quel intervalle suffit-il d'étudier la fonction ?
3.
- a. Étudier la parité de la fonction
et interpréter géométriquement le résultat.
- b. Sur quel intervalle suffirait-il de faire l'étude de la fonction
?
4. Soit un réel
. Exprimer en fonction de
les réels
où
,
,
et
.
5. Donner la valeur exacte des réels
.
6. Montrer que pour tout réel
on a
.
Solution
1.
est défini si et seulement si
d'où
.
2.
- a. Pour tout
,
, ce qui prouve que
.
- De plus,
.
- b. La fonction
est π-périodique (c'est-à-dire périodique de période
). Géométriquement la courbe
se répète dans des translations de vecteur
où
.
- c. Il suffit d'étudier
sur
(intervalle d'amplitude égale à une période, soit
) puis de translater la courbe obtenue par les translations de vecteur
où
.
3.
- a. Pour tout
,
, ce qui prouve que
.
- De plus,
.
- La fonction tangente est donc impaire.
est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.
- b. Il suffirait juste d'étudier
sur
puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O et enfin de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs
où
.
4.
- D'après 2a,
pour tout
.
- D’après 3a,
.
- Pour x≠0 :
.
- Pour x≠0 :
.
5.

.
donc
.
- De même,
donc (puisque
)
.
6.
, on a
.